陈建兴讲数学中高考数学微课 · 一道题、一个视频、一类方法、触类旁通行程问题-追及问题1同向同地但时间不同
1先看题
例 1 一队学生去校外进行军事野营训练，他们以 $5$ 千米/小时的速度，走了 $18$ 分钟的时候，学校要将一个紧急通知传递给队长，学校通讯员从学校出发，以 $14$ 千米/小时的速度按原路追上，通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
例 2 兄弟两人从家出发去学校，弟每小时走 $6$ 公里，哥每小时走 $8$ 公里，弟提前走了 $10$ 分钟，结果两人同时到校，问学校离家有多远？
追及模型：后追的人每秒比先走的人多走「速度差」，累积起来正好补上「领先距离」。
先自己做一遍：每道题先回答两个问题 —— 谁领先？领先了多少（路程差）？
2看微课视频
行程问题-追及问题1同向同地但时间不同 · 微课（约 10 分钟）
3文字版解析与理由
看完视频再对答案。答案默认收起，自己想清楚再展开。
例 1 · 通讯员追队伍
答案：通讯员用 $10$ 分钟（即 $\dfrac{1}{6}$ 小时）可以追上。
理由：先算「领先距离」—— 学生先走 $18$ 分钟 $=0.3$ 小时，走了 $5\times 0.3=1.5$ 千米。追上需要补回这 $1.5$ 千米。通讯员每小时比学生多走 $14-5=9$ 千米。设通讯员用 $t$ 小时追上：$9t=1.5$，解得 $t=\dfrac{1}{6}$ 小时 $=10$ 分钟。
检验：$10$ 分钟 $=\dfrac{1}{6}$ 小时，通讯员走 $14\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{3}$ 千米；学生总共走 $18+10=28$ 分钟 $=\dfrac{7}{15}$ 小时，走 $5\times\dfrac{7}{15}=\dfrac{7}{3}$ 千米。两人路程相同，即追上 ✓。
易错：把 $18$ 分钟忘了乘速度（领先距离是「速度 $\times$ 提前时间」，不是时间本身）；或者单位没统一（$18$ 分钟要先化成 $0.3$ 小时）。
例 2 · 同时到校求路程
答案：学校离家 $4$ 千米。
理由：设学校离家 $s$ 千米。弟弟走完全程用 $\dfrac{s}{6}$ 小时，哥哥用 $\dfrac{s}{8}$ 小时。弟弟提前 $10$ 分钟 $=\dfrac{1}{6}$ 小时出发却同时到达，说明弟弟用的时间比哥哥多 $\dfrac{1}{6}$ 小时：$\dfrac{s}{6}-\dfrac{s}{8}=\dfrac{1}{6}$。通分：$\dfrac{4s-3s}{24}=\dfrac{1}{6}$，即 $\dfrac{s}{24}=\dfrac{1}{6}$，解得 $s=4$。
检验：弟弟走 $4\div 6=\dfrac{2}{3}$ 小时 $=40$ 分钟；哥哥走 $4\div 8=\dfrac{1}{2}$ 小时 $=30$ 分钟；相差 $10$ 分钟 ✓。
方法：「同地不同时出发、同时到达」的题目，等量关系是慢者时间 $-$ 快者时间 $=$ 提前量。设路程 $s$，时间用 $\dfrac{s}{v}$ 表示 —— 这类题是设「路程」而不是设「时间」。
变式 · 通讯员追上时走了多远
答案：通讯员走了 $\dfrac{7}{3}$ 千米（约 $2.33$ 千米）。
理由（用追及时间算）：由例 1 知追上用时 $t=\dfrac{1}{6}$ 小时，通讯员速度 $14$ 千米/小时，所以路程 $=14\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{3}$ 千米。
理由（用学生路程算）：追上时学生共走了 $28$ 分钟 $=\dfrac{7}{15}$ 小时，路程 $=5\times\dfrac{7}{15}=\dfrac{7}{3}$ 千米。两条路算出来必须相等 —— 这就是「追上」的含义。
提醒：算「追上时某人走了多远」有两条路：用追及时间乘各自速度，或用「先走者的总时间」乘它的速度。两条路互为检验，答案必须一致。
追及问题 · 通法与三个易错点
通法：追及问题的核心等式 —— 路程差 $=$ 速度差 $\times$ 时间。做题顺序：① 画图，标出「谁在前、谁在后」；② 求「路程差」（通常是先走者的「领先路程」$=v_先\times$提前时间）；③ 设所求为 $x$；④ 列方程；⑤ 代回检验（追上时两人路程相等）。
① 领先距离算错。「先走 $18$ 分钟」的领先距离是「$v\times$ 提前时间」，别只写时间不乘速度（例 1）。
② 用错加减。同向追及用速度差（大 $-$ 小），相向相遇才用速度和。方向看错，整题报废。
③ 「同时到达」类题设错未知数。已知两速度、求路程时，要设「路程」$s$，用 $\dfrac{s}{v}$ 表示时间（例 2）；若设时间就会绕远路。
4举一反三 · 4 道题
同一个考点换四个角度：直接求追及时间、求追上时走了多远、错时出发求路程、给总时间反求追及用时。
行程问题-追及问题1同向同地但时间不同 举一反三（4 题）
做完立刻出结果，答错的题会自动进你的错题本。
建议先独立完成，再看解析。
5逐题解析（做完再看）
第 1 题 · 甲先走 $30$ 分钟，乙追
正确选项：B（$45$ 分钟）。
理由：甲先走 $0.5$ 小时，领先 $6\times 0.5=3$ 千米；乙每小时比甲多走 $10-6=4$ 千米；追及时间 $=3\div 4=0.75$ 小时 $=45$ 分钟。
检验：追上时甲共走 $0.5+0.75=1.25$ 小时、$6\times 1.25=7.5$ 千米；乙走 $10\times 0.75=7.5$ 千米，相等 ✓。
第 2 题 · 弟弟先走 $5$ 分钟
正确选项：A（$15$ 分钟）。
理由：弟弟先走 $5$ 分钟，领先 $60\times 5=300$ 米；哥哥每分钟多走 $80-60=20$ 米；追及时间 $=300\div 20=15$ 分钟。
检验：弟弟共走 $20$ 分钟、$60\times 20=1200$ 米；哥哥走 $15$ 分钟、$80\times 15=1200$ 米 ✓。
第 3 题 · 同地不同时、同向
正确选项：B（$\dfrac{100}{3}$ 秒）。
理由：甲先跑 $10$ 秒，领先 $5\times 10=50$ 米；乙每秒比甲多跑 $6.5-5=1.5$ 米；追及时间 $=50\div 1.5=\dfrac{100}{3}$ 秒。
检验：追上时甲共跑 $10+\dfrac{100}{3}=\dfrac{130}{3}$ 秒，路程 $5\times\dfrac{130}{3}=\dfrac{650}{3}$ 米；乙跑 $\dfrac{100}{3}$ 秒，路程 $6.5\times\dfrac{100}{3}=\dfrac{650}{3}$ 米，相等 ✓。
第 4 题 · 知道慢者总时间反求追赶用时
正确选项：C（$40$ 秒）。
理由：追上时两人路程相等。小明 $4$ 米/秒共跑 $60$ 秒，路程 $240$ 米；小华 $6$ 米/秒跑完这 $240$ 米，用时 $240\div 6=40$ 秒。
方法：追及问题的本质就是「追上时路程相等」，直接列方程 $6t=4\times 60$ 即可，比先算速度差再算领先距离更直接。
6把错题收起来
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