等积变形问题

答案：最多可铸成 $15$ 个。

理由：熔解前后体积不变。

正方体体积 $=0.5^3=0.5\times 0.5\times 0.5=0.125\text{ m}^3$；
每个长方体体积 $=0.4\times 0.2\times 0.1=0.008\text{ m}^3$。

可铸成的个数 $=0.125\div 0.008=15.625$。

关键一步 —— 取整：个数必须是整数，$15.625$ 说明能完整铸成 $15$ 个，剩余材料不够再铸第 $16$ 个。所以「至多可铸成 $15$ 个」。

检验：$15$ 个共需 $15\times 0.008=0.12\text{ m}^3\le 0.125\text{ m}^3$ ✓；若是 $16$ 个则需 $0.128\text{ m}^3>0.125\text{ m}^3$，材料不够 ✗。

易错：算出 $15.625$ 后直接「四舍五入」写成 $16$ 个。求「最多能装 / 能做几个」的问题，一律向下取整（高斯取整）。

答案：长方形的面积是 $660\text{ cm}^2$。

理由：铁丝框重新围，铁丝的总长度（周长）不变。

正方形边长 $26\text{cm}$，周长 $=4\times 26=104\text{cm}$，这也是新长方形的周长。

设长方形的宽为 $x\text{cm}$，则长为 $(x+8)\text{cm}$。由周长公式：$2[x+(x+8)]=104$，即 $2(2x+8)=104$，$2x+8=52$，$2x=44$，解得 $x=22$。所以宽 $22\text{cm}$、长 $22+8=30\text{cm}$。

面积 $=30\times 22=660\text{ cm}^2$。

检验：新长方形周长 $=2\times(30+22)=104\text{cm}$，与正方形周长相等 ✓；长比宽多 $30-22=8\text{cm}$ ✓。

提醒：周长不变、面积会变 —— 这正是这类题的趣味所在：同样的铁丝围成不同形状，面积不同（正方形面积 $=26^2=676\text{ cm}^2>660\text{ cm}^2$）。题目只问面积，不要用正方形的面积。

通法：① 先找「什么量不变」—— 熔化、铸造、倒水、排水 $\rightarrow$ 体积不变；把铁丝框改形状、围篱笆 $\rightarrow$ 周长不变；② 把这个不变的量在「变形前」「变形后」各写一个表达式，令其相等；③ 涉及「能做几个 / 能装几个」时，用除法后向下取整；④ 代回检验。

正确选项：C（$36$ 个）。

理由：正方体体积 $=0.6^3=0.216\text{ m}^3$，每个长方体体积 $=0.3\times 0.2\times 0.1=0.006\text{ m}^3$。个数 $=0.216\div 0.006=36$，正好整除，最多 $36$ 个。

检验：$36\times 0.006=0.216\text{ m}^3$，与正方体体积相等 ✓。

正确选项：B（$140\text{ cm}^2$）。

理由：铁丝长 $48\text{cm}$ 即周长不变。设宽为 $x\text{cm}$，则长 $(x+4)\text{cm}$：$2[x+(x+4)]=48$，$2x+4=24$，$x=10$，长 $14\text{cm}$。面积 $=14\times 10=140\text{ cm}^2$。

检验：周长 $2\times(14+10)=48$ ✓，长比宽多 $4$ ✓。

正确选项：C（$17\text{ cm}$）。

理由：正方形周长 $=4\times 20=80\text{cm}$，即新长方形周长 $80\text{cm}$。设宽为 $x$，长 $(x+6)$：$2[x+(x+6)]=80$，$2x+6=40$，$2x=34$，$x=17$，选 C（宽 $17\text{cm}$，长 $23\text{cm}$）。

检验：$2\times(23+17)=80$ ✓。

正确选项：B（$400\text{ cm}^3$）。

理由：石头完全浸入后水面升高，升高的那段水的体积就是石头的体积。底面积 $=20\times 10=200\text{ cm}^2$，水面升高 $8-6=2\text{ cm}$，所以石头体积 $=200\times 2=400\text{ cm}^3$。

方法：「排水法」求不规则物体体积 —— 物体体积 $=$ 容器底面积 $\times$ 水面升高的高度。这是等积变形思想的应用。