经营(利润)问题

答案：进价 $125$ 元。

理由：设进价为 $x$ 元。标价 $=x(1+40\%)=1.4x$，八折售价 $=1.4x\times 0.8=1.12x$。利润 $=$ 售价 $-$ 进价：
$1.12x-x=15$，即 $0.12x=15$，解得 $x=125$。

检验：进价 $125$，标价 $175$，八折售价 $140$，利润 $140-125=15$ 元 ✓。

关键：「提高 $40\%$」是在进价基础上加，所以标价 $=1.4x$；「$8$ 折」是乘 $0.8$。两步乘完再减进价，就是利润。

答案：原价 $2200$ 元。

理由：设原价为 $y$ 元。八折售价 $=0.8y$。由「利润率 $=\dfrac{\text{利润}}{\text{进价}}=10\%$」得 $\dfrac{0.8y-1600}{1600}=10\%$，即 $0.8y-1600=160$，$0.8y=1760$，解得 $y=2200$。

检验：原价 $2200$，八折售价 $1760$，利润 $1760-1600=160$ 元，$160\div 1600=10\%$ ✓。

易错：利润率的分母是进价（$1600$），不是售价或原价。写成 $\dfrac{0.8y-1600}{0.8y}=10\%$ 是最常见的错误。

答案：选 C（$288$ 元或 $316$ 元）。

第一步：还原两次购物的商品原价。

付款 $80$ 元 $\le 100$ 元，属于「不享受优惠」，所以这 $80$ 元就是原价本身。

付款 $252$ 元有两种可能（因为 $252$ 元既可能是九折后的价，也可能是八折后的价）：
· 若是九折：原价 $=252\div 0.9=280$ 元，且 $100<280\le 300$，符合九折条件 ✓；
· 若是八折：原价 $=252\div 0.8=315$ 元，且 $315>300$，符合八折条件 ✓。
所以这第二笔的原价是 $280$ 元或 $315$ 元。

第二步：合并成「一次购物」再算付款。

· 若原价合计 $80+280=360$ 元：$360>300$，打八折，应付 $360\times 0.8=288$ 元；
· 若原价合计 $80+315=395$ 元：$395>300$，打八折，应付 $395\times 0.8=316$ 元。

所以一次购买应付 $288$ 元或 $316$ 元，选 C。

易错：只算一种情况就选答案。$252$ 元对应「九折」「八折」两种原价，这题正是拿这一点设陷阱 —— 分段收费类题目，凡是「付款额」落在分界点附近，都要回头验算属于哪一档、是否有多解。

设最低打 $x$ 折，则售价 $=4500\times\dfrac{x}{10}$。三问的差别只在「售价的底线」不同。

(1) 利润不低于 $5\%$：售价至少为 $3000\times(1+5\%)=3150$ 元。
$4500\times\dfrac{x}{10}\ge 3150$，解得 $x\ge 7$。最低打七折。

(2) 不赔本：售价至少等于进价 $3000$ 元。
$4500\times\dfrac{x}{10}\ge 3000$，解得 $x\ge \dfrac{3000\times 10}{4500}=\dfrac{20}{3}\approx 6.67$。最低打六点七折（约 $6.7$ 折，即不能低于原价的 $\dfrac{2}{3}$）。

(3) 赔本不超过 $5\%$：售价至少为 $3000\times(1-5\%)=2850$ 元。
$4500\times\dfrac{x}{10}\ge 2850$，解得 $x\ge \dfrac{2850\times 10}{4500}=\dfrac{19}{3}\approx 6.33$。最低打六点三折（约 $6.3$ 折）。

方法：打折题的通用套路 —— 先把「售价的底线」算出来（进价乘一个系数），再用「底线 $\div$ 标价」得到折扣率。三问只是系数不同：$1.05$、$1$、$0.95$。

答案：甲服装成本 $300$ 元，乙服装成本 $200$ 元。

理由：设甲服装成本为 $x$ 元，则乙服装成本为 $(500-x)$ 元。

甲按 $50\%$ 利润定价 $=1.5x$，乙按 $40\%$ 利润定价 $=1.4(500-x)$。两件均按九折出售，售价合计：
$0.9\times 1.5x+0.9\times 1.4(500-x)=1.35x+1.26(500-x)=1.35x+630-1.26x=0.09x+630$。

成本合计 $500$ 元、获利 $157$ 元 $\Rightarrow$ 售价合计 $=500+157=657$ 元。于是 $0.09x+630=657$，$0.09x=27$，解得 $x=300$。所以甲 $300$ 元、乙 $500-300=200$ 元。

检验：甲定价 $450$，九折售价 $405$；乙定价 $280$，九折售价 $252$；合计 $657$ 元，减去成本 $500$ 元，利润 $157$ 元 ✓。

易错：「均按九折」是每一件都乘 $0.9$，别只乘其中一件，也别把 $0.9$ 只乘在总利润上。

通法：做题前先在草稿纸上列出一列量：进价、标价、折扣、售价、利润、利润率，缺哪个设哪个。三条关系式反过来用：
· 求进价：由「售价 $-$ 进价 $=$ 利润」列方程；
· 求标价（原价）：由「标价 $\times$ 折扣 $-$ 进价 $=$ 进价 $\times$ 利润率」列方程；
· 求折扣：$\text{折扣}=\dfrac{\text{售价}}{\text{标价}}$。

正确选项：B（$20\%$）。

理由：售价 $=300\times 0.8=240$ 元，利润 $=240-200=40$ 元，利润率 $=\dfrac{40}{200}=20\%$。

提醒：利润率的分母是进价 $200$，不是售价 $240$。

正确选项：B（$200$ 元）。

理由：设进价为 $x$ 元，标价 $=1.5x$，售价 $=1.5x\times 0.8=1.2x$。由售价 $240$ 元：$1.2x=240$，解得 $x=200$。

提醒：「提高 $50\%$」得到的标价是 $1.5x$，不是 $0.5x$。

正确选项：C（$144$ 元）。

理由：利润 $=120\times 20\%=24$ 元，售价 $=$ 进价 $+$ 利润 $=120+24=144$ 元。

另解：售价 $=$ 进价 $\times(1+$ 利润率$)=120\times 1.2=144$ 元，两种算法一致。

正确选项：B（$400$ 元）。

理由：售价 $=500\times 0.9=450$ 元。设进价为 $x$，则 $\dfrac{450-x}{x}=12.5\%$，即 $450-x=0.125x$，$1.125x=450$，解得 $x=400$。

检验：利润 $=450-400=50$ 元，$50\div 400=12.5\%$ ✓。