行程问题-相遇错车问题

答案：相向行驶时两车交叉时间为 $15$ 秒（即 $\dfrac{1}{4}$ 分钟）。

第一步：设速度。设客车速度为 $5x$ 米/分，货车速度为 $3x$ 米/分（速度比 $5:3$）。

第二步：用「同向错车」求 $x$。同向行驶时是快车追慢车（这里客车快），从相遇到错开的路程差等于两车长之和：$(5x-3x)\times 1=190+290$，即 $2x=480$，解得 $x=240$。所以客车速度为 $5\times 240=1200$ 米/分，货车速度为 $3\times 240=720$ 米/分。

第三步：算相向行驶的交叉时间。相向错车，路程和等于两车长之和：$(1200+720)\times t=480$，$1920t=480$，解得 $t=0.25$ 分钟 $=15$ 秒。

检验：相向时每秒两车共靠近 $1920\div 60=32$ 米，$480\div 32=15$ 秒 ✓。

关键：这道题两次用到「车长和 $480$ 米」—— 同向用路程差、相向用路程和。方向不同，加减就不同，这是错车题唯一的难点。

公式：相向错车 $t=\dfrac{x+y}{v_1+v_2}$；同向错车 $t=\dfrac{x+y}{v_1-v_2}$。（$x$、$y$ 为两车车长）

用法（以例 1 复核）：相向 $t=\dfrac{190+290}{1200+720}=\dfrac{480}{1920}=0.25$ 分钟 $=15$ 秒 ✓；同向 $t=\dfrac{480}{1200-720}=\dfrac{480}{480}=1$ 分钟 ✓，与题给条件吻合。

辨析：分母一个是「速度和」、一个是「速度差」，分子永远是「车长和」。记住这一点，错车题就不会用错公式。

通法：① 判方向：相向 $\rightarrow$ 用速度和；同向追及 $\rightarrow$ 用速度差。② 路程一律取「两车长之和」。③ 设速度（有比例就设份数 $kx$）。④ 列方程或直接套公式 $t=\dfrac{\text{车长和}}{\text{和或差}}$。⑤ 注意时间单位（分 / 秒）。

正确选项：B（$\dfrac{40}{3}$ 秒）。

理由：相向错车，路程和 $=160+240=400$ 米，速度和 $=18+12=30$ 米/秒，时间 $=400\div 30=\dfrac{40}{3}$ 秒。

提醒：分子永远是「两车长之和」，分母用「速度和」。

正确选项：B（$62.5$ 秒）。

理由：同向错车，路程差 $=200+300=500$ 米，速度差 $=22-14=8$ 米/秒，时间 $=500\div 8=62.5$ 秒。

提醒：「从车头追上到车尾超过」扫过的路程是两车长之和（$500$ 米），不是快车车长。

正确选项：B（两车长之和）。

理由：从车头相遇到车尾相离，以地面为参照，两车一共「扫」过的距离正好是「客车长 $+$ 货车长」。画两个时刻的示意图最容易看出来：车头相遇时两车尾相距一个「车长和」，车尾相离时这个间距正好被两车相对走过的路程补上。

正确选项：A（客车 $30$ 米/秒、货车 $20$ 米/秒）。

理由：设货车速度为 $v$ 米/秒，则客车速度为 $1.5v$。同向错车：路程差 $=400+300=700$ 米，速度差 $=0.5v$，时间 $70$ 秒：$0.5v\times 70=700$，$35v=700$，$v=20$。客车 $=1.5\times 20=30$ 米/秒。

检验：$70\times(30-20)=700$ ✓。