陈建兴讲数学中高考数学微课 · 一道题、一个视频、一类方法、触类旁通方案优选问题
1先看题
例 1 已知 $A$、$B$ 两家商店的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听和书包的单价之和为 $452$ 元，且随身听的单价比书包的单价的 $4$ 倍少 $8$ 元。
（1）问随身听和书包的单价各是多少元？
（2）现在这两家商店搞促销，促销方式如下：商店 A：所有的商品打八折销售；商店 B：每购物满 $100$ 元，立即返还 $25$ 元（例如，购物 $205$ 元，则立即返还 $50$ 元）。小明身上带了 $400$ 元钱，想买随身听和书包各一个，那么，他应该选择在哪一家商店购买更省钱？
例 2 某公园为了吸引更多游客，推出了“个人年票”的售票方式（从购买日起，可供持票者使用一年），年票分 $A$、$B$ 二类：$A$ 类年票每张 $49$ 元，持票者每次进入公园时，再购买 $3$ 元的门票；$B$ 类年票每张 $64$ 元，持票者每次进入公园时，再购买 $2$ 元的门票。
（1）一游客计划在一年中用 $100$ 元游该公园（只含年票和每次进入公园的门票），请你通过计算比较购买 $A$、$B$ 两种年票方式中，进入该公园次数较多的购票方式；
（2）求一年内游客进入该公园多少次，购买 $A$ 类、$B$ 类年票花钱一样多？
例 3 为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司对每户月用水量进行计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是小明家 $1$—$4$ 月份用水量和交费情况：
阶梯计费的关键：先由两档费率反推出「规定吨数」，再分段计算。
先自己做一遍：方案比较类题目，先把每种方案的「费用表达式」写出来，再比较 —— 不要一上来就硬算数字。
2看微课视频
方案优选问题 · 微课（约 14 分钟）
3文字版解析与理由
看完视频再对答案。答案默认收起，自己想清楚再展开。
例 1 (1) · 求随身听与书包的单价
答案：书包 $92$ 元，随身听 $360$ 元。
理由：设书包的单价为 $x$ 元，则随身听的单价为 $(4x-8)$ 元（「比书包的 $4$ 倍少 $8$」）。两者之和为 $452$ 元：
$x+(4x-8)=452$，即 $5x-8=452$，$5x=460$，解得 $x=92$。
随身听单价 $=4\times 92-8=368-8=360$ 元。
检验：$92+360=452$ ✓，且 $360$ 比 $4\times 92=368$ 少 $8$ ✓。
例 1 (2) · 两家商店哪个更省钱
答案：选 B 商店更省钱（B 店实付 $352$ 元 $<$ A 店 $361.6$ 元）。
两件商品的原价合计：$452$ 元（小明带 $400$ 元，两家店都能买得起）。
A 商店（全场八折）：实付 $=452\times 0.8=361.6$ 元。
B 商店（每满 $100$ 元返 $25$ 元）：$452$ 元里有 $4$ 个「满 $100$」（$452\div 100=4$ 余 $52$），返还 $4\times 25=100$ 元，实付 $=452-100=352$ 元。
比较：$352<361.6$，所以选 B 商店更省钱，比 A 店少花 $9.6$ 元。
易错：① B 店的返还是「满 $100$ 返 $25$」，不足 $100$ 的零头（这里 $52$ 元）不参与返还，不能按「按比例返还」算；② 比较的是「实付金额」，不是「折扣率」—— A 店看着像八折更划算，实际算下来 B 店更低。
例 2 · 年票方案比较
(1) 答案：B 类年票能进园 $18$ 次，A 类能进 $17$ 次，应选 B 类。
设进园 $n$ 次。A 类：$49+3n\le 100$，$3n\le 51$，$n\le 17$，即最多进 $17$ 次（花费 $49+51=100$ 元）；
B 类：$64+2n\le 100$，$2n\le 36$，$n\le 18$，即最多进 $18$ 次（花费 $64+36=100$ 元）。
同样花 $100$ 元，B 类能多进 $1$ 次，所以选 B 类年票。
(2) 答案：进园 $15$ 次时，两类年票花钱一样多（都是 $94$ 元）。
设进园 $n$ 次，令两类花费相等：$49+3n=64+2n$，移项得 $n=15$。此时 A 类 $49+45=94$ 元，B 类 $64+30=94$ 元，相等 ✓。
方法：方案比较分两种问法 —— 「花同样的钱，哪种能享受更多」（不等式，取整数）与「多少次时两种方案费用相同」（等式，列方程）。先看清问的是哪一种。
例 3 · 阶梯水费（先反推分界吨数）
(1) 答案：规定吨数为 $10$ 吨；规定以内每吨 $2$ 元，超过部分每吨 $3$ 元。
怎么看出来：先看前两个月 —— $1$ 月 $8$ 吨交 $16$ 元、$2$ 月 $10$ 吨交 $20$ 元，都是 $2$ 元/吨，说明前 $10$ 吨（含）都在「规定吨数」以内，标准单价 $2$ 元/吨。
再看 $3$ 月 $12$ 吨交 $26$ 元：超出 $10$ 吨的有 $2$ 吨，多交的钱是 $26-20=6$ 元，所以超过部分单价 $=6\div 2=3$ 元/吨。
验算 $4$ 月：$15$ 吨 $=10$ 吨以内 $+5$ 吨超出 $=10\times 2+5\times 3=20+15=35$ 元 ✓，与表格一致，说明推断正确。
(2) 答案：$5$ 月用水 $20$ 吨，应缴 $50$ 元。超出部分 $=20-10=10$ 吨，费用 $=10\times 2+10\times 3=20+30=50$ 元。
(3) 答案：$6$ 月用水 $13$ 吨。缴 $29$ 元 $>$ $20$ 元，说明用水超过了 $10$ 吨。设用水 $w$ 吨：$10\times 2+3(w-10)=29$，即 $20+3(w-10)=29$，$3(w-10)=9$，$w-10=3$，解得 $w=13$。
检验：$13$ 吨费用 $=20+3\times 3=29$ 元 ✓。
方法：阶梯计费题的通法 —— 先比较相邻两行的「多交的钱」与「多用量的比值」，判断哪一段开始进入高价档，从而反推出「分界点」；再按「分界以内 $+$ 超出部分」两段写表达式。
方案优选 · 通法与三个易错点
通法：① 把每种方案的「费用」写成含未知数（次数 / 用量 / 金额）的式子；② 题目问「一样多」就令两式相等列方程；问「谁更省」就分别代入具体数值再比较（或解不等式）；③ 分段计费先反推分界点，再分段写式子；④ 答案要落回实际意义（人数、次数取整数；金额精确到分）。
① 「满多少返多少」按比例算。返还只看「整 $100$」的个数，零头不参与（例 1 (2)）。
② 「花同样的钱能享受多少」当成方程解。这里的未知数只能取整数（次数），要用不等式求出最大值再取整（例 2 (1)）。
③ 阶梯计费整体用同一单价。必须先判断用水量落在哪一档，超出部分才用高价（例 3）。
4举一反三 · 4 道题
同一个考点换四个角度：两店促销比价、年票次数比较、阶梯水费分档、通信资费比较。
方案优选问题 举一反三（4 题）
做完立刻出结果，答错的题会自动进你的错题本。
建议先独立完成，再看解析。
5逐题解析（做完再看）
第 1 题 · 两店促销比价
正确选项：C（乙店，$340$ 元）。
理由（甲店九折）：实付 $400\times 0.9=360$ 元。
理由（乙店满 $100$ 返 $15$）：$400$ 元里有 $4$ 个「满 $100$」，返还 $4\times 15=60$ 元，实付 $400-60=340$ 元。
$340<360$，所以乙店更省。
提醒：返还只看整 $100$ 的个数，不要按比例算。
第 2 题 · 两种资费何时相同
正确选项：B（$150$ 分钟）。
理由：设通话 $m$ 分钟。A 方案费用 $=30+0.2m$，B 方案费用 $=0.4m$。二者相等：$30+0.2m=0.4m$，$30=0.2m$，$m=150$ 分钟。
检验：A 花 $30+30=60$ 元，B 花 $0.4\times 150=60$ 元 ✓。
第 3 题 · 两运输公司费用相同
正确选项：B（$100$ 千米）。
理由：设运输 $x$ 千米。甲公司 $=1000+5x$，乙公司 $=500+10x$。相等：$1000+5x=500+10x$，$500=5x$，$x=100$ 千米。
检验：甲 $1000+500=1500$ 元，乙 $500+1000=1500$ 元 ✓。
第 4 题 · 运输 $200$ 千米谁更省
正确选项：A（甲公司，$2000$ 元）。
理由：甲 $=1000+5\times 200=2000$ 元；乙 $=500+10\times 200=2500$ 元。$2000<2500$，选甲公司。
方法：由第 3 题知两公司在 $100$ 千米处「打平」；超过 $100$ 千米后，甲公司的「每千米 $5$ 元」更低，所以越长越划算 —— 这类题可以先用等式找「临界点」，再判断临界点两侧谁更省。
6把错题收起来
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