陈建兴讲数学中高考数学微课 · 一道题、一个视频、一类方法、触类旁通数字问题
1先看题
核心关系式：$\text{数}=\text{百位数}\times 100+\text{十位数}\times 10+\text{个位数}\times 1$。
例如 $48=4\times 10+8$；交换十位与个位后得到 $84=8\times 10+4$。
例 1 一个三位数，个位数为 $a$，十位数为 $b$，百位数为 $c$，则这个三位数是 ____________。
例 2 一个两位数个位上的数是 $1$，十位数是 $x$，把 $1$ 与 $x$ 对调，新两位数比原来两位数小 $18$，$x$ 应是多少，才能满足。
例 3 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 $2$ 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 $36$，求原来的两位数。
例 4 一个两位数字，十位上的数字比个位上的小 $3$，十位上的数字与个位上的数字的和是这个两位数的 $\dfrac{1}{4}$，求这个两位数。
数字题的命门：同一个数字在不同数位上，代表的值完全不同（$4$ 在十位是 $40$、在个位是 $4$）。
先自己做一遍：把原数与新数分别按数位写成式子，再按「大 / 小多少」列方程。
2看微课视频
数字问题 · 微课（约 9 分钟）
3文字版解析与理由
看完视频再对答案。答案默认收起，自己想清楚再展开。
例 1 · 用字母表示三位数
答案：$100c+10b+a$。
理由：百位上的数字 $c$ 表示「$c$ 个百」，即 $100c$；十位上的 $b$ 表示「$b$ 个十」，即 $10b$；个位上的 $a$ 就是 $a$。三者相加：
$100c+10b+a$。
检验：取 $a=5$、$b=3$、$c=7$，代入得 $100\times 7+10\times 3+5=735$ ✓。
易错：不要写成 $cba$（那是三个字母相乘），也不要写成 $c+b+a$。数字问题里，「数位的权重」$100$、$10$、$1$ 必须写出来。
例 2 · 个位是 $1$、十位是 $x$（对调后比原数小 $18$）
答案：$x=3$（原数是 $31$）。
理由：原两位数：十位 $x$、个位 $1$，所以原数 $=10x+1$。
把 $1$ 与 $x$ 对调后：十位变 $1$、个位变 $x$，新数 $=10\times 1+x=10+x$。
由「新数比原数小 $18$」：$(10x+1)-(10+x)=18$。化简：$9x-9=18$，$9x=27$，解得 $x=3$。
所以原数是 $31$，新数是 $13$。
检验：$31-13=18$ ✓。
关键：对调之后要按新数位重新写式子 —— 原来在个位的 $1$ 跑到十位，就成了 $10$；原来在十位的 $x$ 跑到个位，就直接是 $x$。
例 3 · 个位是十位的 $2$ 倍，对调后比原数大 $36$
答案：原来的两位数是 $48$。
理由：设十位上的数字为 $t$，则个位上的数字为 $2t$（个位是十位的 $2$ 倍）。
原数 $=10t+2t=12t$；对调后十位变 $2t$、个位变 $t$，新数 $=10\times 2t+t=21t$。
由「新数比原数大 $36$」：$21t-12t=36$，即 $9t=36$，解得 $t=4$。所以个位是 $2\times 4=8$，原数是 $48$。
检验：原数 $48$，新数 $84$，$84-48=36$ ✓。
巧妙之处：把「个位是十位的 $2$ 倍」直接写成 $2t$，原数就整理成 $12t$、新数 $21t$ —— 这是「数位对调」的一个漂亮规律：对调后，原数与新数的差 $=(21-12)t=9t$，也就是「数字差 $\times 9$」。
例 4 · 十位比个位小 $3$、两数字之和是原数的 $\dfrac{1}{4}$
答案：这个两位数是 $36$。
理由：设十位上的数字为 $t$，则个位上的数字为 $(t+3)$（十位比个位小 $3$）。
原数 $=10t+(t+3)=11t+3$；两个数字之和 $=t+(t+3)=2t+3$。
由「两数字之和是这个两位数的 $\dfrac{1}{4}$」：$2t+3=\dfrac{1}{4}(11t+3)$。两边同乘 $4$：$8t+12=11t+3$，移项得 $9=3t$，解得 $t=3$。所以个位是 $3+3=6$，两位数是 $36$。
检验：两数字之和 $=3+6=9$；$36\times\dfrac{1}{4}=9$ ✓。
易错：「两数字之和」指的是 $3+6=9$，不是两位数 $36$。设元时把「十位数字」设为 $t$，题目里的「数字」指 $0\sim 9$ 的单个数字，别和整个数混起来。
数字问题 · 通法与三个易错点
通法：① 设「十位上的数字」为 $t$（或按题意设某一位），用 $t$ 表示其他数位上的数字；② 按「数值 $=$ 各位数字 $\times$ 权重」把原数写出来；③ 对调数位后，重新按新数位写一遍新数；④ 用「原数与新数的大小关系 / 和 / 数字之和」列方程；⑤ 代回检验。
① 把数写成「数字之和」。两位数 $48$ 是 $4\times 10+8=48$，不是 $4+8=12$。
② 对调后忘了换权重。原来个位的 $1$ 对调到十位就是 $10$，不是 $1$（例 2）。
③ 「数字」与「数」混淆。「两个数字之和」是 $3+6=9$，「两位数」是 $36$，两者必须分清（例 4）。
附一个常用结论：两位数十位 $a$、个位 $b$，对调后新数与原数之差 $=9(a-b)$（大减小取正）。心算检验时很好用。
4举一反三 · 4 道题
同一个考点换四个角度：用字母表示多位数、对调后比原数小、对调后比原数大、由数字之和与原数的关系求数。
数字问题 举一反三（4 题）
做完立刻出结果，答错的题会自动进你的错题本。
建议先独立完成，再看解析。
5逐题解析（做完再看）
第 1 题 · 用字母表示三位数
正确选项：B（$100a+10b+c$）。
理由：百位上的 $a$ 表示 $100a$，十位上的 $b$ 表示 $10b$，个位上的 $c$ 就是 $c$，所以三位数为 $100a+10b+c$。
检验：取 $a=7,b=3,c=5$，得 $735$ ✓。
第 2 题 · 个位是 $2$、对调后比原数小 $36$
正确选项：C（$62$）。
理由：个位是 $2$、十位是 $x$，原数 $=10x+2$；对调后新数 $=20+x$。由「新数比原数小 $36$」：$(10x+2)-(20+x)=36$，$9x-18=36$，$9x=54$，$x=6$。所以原数是 $62$。
检验：$62-26=36$ ✓（也可用结论 $9\times(6-2)=36$）。
第 3 题 · 对调后与原数的和是 $132$
正确选项：B（$48$）。
理由：设个位数字为 $x$，则十位数字为 $(x-4)$。原数 $=10(x-4)+x=11x-40$，新数 $=10x+(x-4)=11x-4$。由两数之和为 $132$：$(11x-40)+(11x-4)=132$，$22x-44=132$，$22x=176$，$x=8$，十位 $=4$，原数 $48$。
检验：$48+84=132$ ✓。
第 4 题 · 个位是十位的 $3$ 倍、对调后比原数大 $54$
正确选项：A（$39$）。
理由：设十位数字为 $t$，则个位数字为 $3t$。原数 $=10t+3t=13t$，新数 $=30t+t=31t$。由「新数比原数大 $54$」：$31t-13t=54$，$18t=54$，$t=3$，所以原数 $=39$。
检验：$93-39=54$ ✓。
6把错题收起来
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