和差倍分问题

正确选项：A。

理由：设宽为 $x\text{cm}$，则长为 $(x+2)\text{cm}$。矩形周长 $=2\times(\text{长}+\text{宽})$，于是 $2[x+(x+2)]=16$，即 $2(2x+2)=16$，得 $2x+2=8$，$x=3$。所以宽为 $3\text{cm}$，长为 $3+2=5\text{cm}$，选 A。

易错：把「周长」当成长 $+$ 宽、漏乘 $2$；或者把「长比宽多 $2$」写成「宽比长多 $2$」，都会使答案变成别的选项。

正确选项：D。

理由：把题意翻译成等式：左边「$x$ 的 $43\%$」是 $43\%x$；右边「$x$ 的一半还少 $7$」是 $\dfrac{1}{2}x-7$。两边相等：$43\%x=\dfrac{1}{2}x-7$，移项写成 $\dfrac{1}{2}x-7=43\%x$，即选项 D。

易错：B 选项把「一半」写成了 $\dfrac{1}{2}$（少乘了 $x$）；C 选项方向反了。读题时把「比谁少」在等式两边摆对位置，是这类题唯一的坎。

答案：甲村 $204$ 人，乙村 $630$ 人。

理由：设乙村有 $x$ 人，则甲村有 $\left(\dfrac{1}{2}x-111\right)$ 人。等量关系是「两村共有 $834$ 人」：$x+\dfrac{1}{2}x-111=834$，即 $\dfrac{3}{2}x=945$，解得 $x=630$。甲村人数 $=\dfrac{1}{2}\times 630-111=315-111=204$。

检验：$204+630=834$ ✓，且 $204$ 确实比 $315$ 少 $111$ ✓。

方法：「共有」类题目，等量关系就是两部分相加等于总量；设「一倍量」（乙村）为 $x$，「一半还少」就写成 $\dfrac{1}{2}x-111$。

答案：从甲班抽调 $35$ 人，从乙班抽调 $34$ 人。

理由：设从乙班抽调 $y$ 人，则从甲班抽调 $(y+1)$ 人。抽调后：甲班剩 $45-(y+1)=44-y$ 人，乙班剩 $39-y$ 人。等量关系「甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的 $2$ 倍」：$44-y=2(39-y)$，展开得 $44-y=78-2y$，移项得 $y=34$。所以从乙班抽调 $34$ 人，从甲班抽调 $34+1=35$ 人。

检验：甲班剩 $45-35=10$ 人，乙班剩 $39-34=5$ 人，$10=2\times 5$ ✓。

易错：「剩余人数」不是原有人数。方程里必须用「调走后剩下的」，一上手就拿 $45$、$39$ 去凑 $2$ 倍，就全错了。

答案：长为 $30\text{m}$，宽为 $10\text{m}$。

理由：题目说「宽是长的 $\dfrac{1}{3}$」，即 $\text{宽}=\dfrac{1}{3}\times\text{长}$。设长为 $x\text{m}$，则宽为 $\dfrac{1}{3}x\text{m}$。等量关系是绳子长（即矩形周长）为 $80\text{m}$：$2\left(x+\dfrac{1}{3}x\right)=80$，即 $\dfrac{8}{3}x=80$，解得 $x=30$。所以长为 $30\text{m}$，宽为 $\dfrac{1}{3}\times 30=10\text{m}$。

检验：$2\times(30+10)=80$ ✓，且 $10$ 正好是 $30$ 的 $\dfrac{1}{3}$ ✓。

提醒：「$A$ 是 $B$ 的 $\dfrac{1}{3}$」与「$B$ 是 $A$ 的 $\dfrac{1}{3}$」是两句完全不同的话。本题说「宽是长的 $\dfrac{1}{3}$」，就是「长是宽的 $3$ 倍」，算出来一定是「长 $>$ 宽」。审题以题目给的倍比方向为准。

通法（三步）：① 设一倍量——把题目里「被比较」的那个量（较小者、单位量）设为 $x$；② 表示其余量——用 $x$ 根据「多/少、几倍、几分之几、一半」写出其他量；③ 找等量关系列方程——等量关系通常就三种：相加得总量、剩余量之间的倍数、「$A$ 比 $B$ 的几倍多/少几」。

正确选项：C（$8.5\text{cm}$）。

理由：设宽为 $x\text{cm}$，则长为 $(x+4)\text{cm}$。$2[x+(x+4)]=26$，即 $2x+4=13$，$x=4.5$，长为 $4.5+4=8.5\text{cm}$。

提醒：解出 $x=4.5$ 是「宽」，题目问的是「长」，别把算出的宽直接当答案选。

正确选项：A（$30\%x-\dfrac{1}{5}x=5$）。

理由：「$x$ 的 $30\%$」是 $30\%x$，「$x$ 的 $\dfrac{1}{5}$」是 $\dfrac{1}{5}x$；前者比后者「多 $5$」，所以 $30\%x-\dfrac{1}{5}x=5$。

提醒：「多」用减法表示差值（大 $-$ 小 $=$ 差）。C 选项把 $5$ 加错了边，D 选项漏乘了 $x$。

正确选项：B（甲 $320$ 吨、乙 $180$ 吨）。

理由：设乙仓库存货 $x$ 吨，则甲仓库为 $(2x-40)$ 吨。两仓库共有 $500$ 吨：$x+2x-40=500$，$3x=540$，$x=180$。甲 $=2\times 180-40=320$ 吨。

检验：$320+180=500$ ✓，$320$ 比 $360$ 少 $40$ ✓。

正确选项：C（$19$ 人）。

理由：设从甲班调 $x$ 人到乙班，则甲班剩 $(45-x)$ 人，乙班变为 $(33+x)$ 人。由「甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的一半」：$45-x=\dfrac{1}{2}(33+x)$，两边同乘 $2$：$90-2x=33+x$，$3x=57$，$x=19$。

检验：调后甲班 $45-19=26$ 人，乙班 $33+19=52$ 人，$26=\dfrac{1}{2}\times 52$ ✓。

方法：调配问题的等量关系永远写在「调动之后」：调出方用「减」、接收方用「加」。