行程问题-相遇问题3相向错开

答案：两车相距 $150$ 千米。

理由：速度和 $=120+80=200$ 千米/小时，$3$ 小时共走 $200\times 3=600$ 千米。$600>450$，说明两车早就相遇、并且已经擦肩而过（错开）了。此时相距：$600-450=150$ 千米。

关键词：路程和大于全程 $\Rightarrow$ 相遇后「错开」，相距 $=$ 路程和 $-$ 全程。

怎么理解「路程和 $-$ 全程」：把两车走过的路「拼」在一起看 —— 拼到 $450$ 千米时两车正好相遇；再往后每多走 $1$ 千米，两车就背离 $1$ 千米。所以超出全程的那部分，正好就是错开后的距离。

答案：$2$ 小时或 $2.5$ 小时。

理由：设经过 $t$ 小时两车相距 $50$ 千米。注意到「相距 $50$ 千米」在相遇前和相遇后各出现一次，所以有两种情况：

① 还没相遇（路程和 $<450$）：$450-200t=50$，即 $200t=400$，解得 $t=2$。
② 相遇后错开（路程和 $>450$）：$200t-450=50$，即 $200t=500$，解得 $t=2.5$。

统一写法：两种情况可以合成一个式子 —— $\big|450-200t\big|=50$。取绝对值，就不必分「遇没相遇」讨论了。

检验：$t=2$ 时路程和 $400$，相距 $450-400=50$ ✓；$t=2.5$ 时路程和 $500$，超过全程 $50$，即错开后相距 $50$ ✓。

易错：只解出一种情况！题目没有限定「相遇前还是相遇后」，两个时刻都符合题意，漏一个就丢一半分。

通法：① 算「路程和」$=(v_1+v_2)t$；② 与全程 $S$ 比大小 —— 路程和大于 $S$，就是相遇后错开；③ 相距 $=\big|S-(v_1+v_2)t\big|$；④ 已知「相距为 $d$」求 $t$ 时，解 $\big|S-(v_1+v_2)t\big|=d$，一般得到两个正解。

正确选项：C（$150$ 千米）。

理由：速度和 $=100+80=180$ 千米/小时，$2.5$ 小时共走 $180\times 2.5=450$ 千米 $>300$ 千米，说明已相遇并错开，相距 $450-300=150$ 千米。

对比上讲的「不遇」：「不遇」用「全程 $-$ 路程和」，「错开」用「路程和 $-$ 全程」，判断依据就是路程和与全程的大小。

正确选项：B（$1.7$ 或 $2.3$ 小时）。

理由：速度和 $=110+90=200$ 千米/小时。$\big|400-200t\big|=60$：① 未相遇：$400-200t=60$，$t=1.7$；② 错开后：$200t-400=60$，$t=2.3$。两个解都为正，都有效。

易错：只答 $1.7$ 小时。凡是没有限定「相遇前 / 相遇后」的「相距为定值」问题，默认有两解。

正确选项：C（$8$ 或 $12$ 分钟）。

理由：速度和 $=60+40=100$ 米/分。$\big|1000-100t\big|=200$：① 未相遇：$1000-100t=200$，$t=8$；② 错开后：$100t-1000=200$，$t=12$。

检验：$t=8$ 时共走 $800$ 米，还差 $200$ 米相遇 ✓；$t=12$ 时共走 $1200$ 米，超过全程 $200$ 米 ✓。

正确选项：A（$120$ 千米）。

理由：速度和 $=70+50=120$ 千米/小时，$3$ 小时共走 $120\times 3=360$ 千米 $>240$ 千米，已相遇并错开，相距 $360-240=120$ 千米。

提醒：两车相遇时刻是 $240\div 120=2$ 小时，$3$ 小时时早已错开，所以用「路程和 $-$ 全程」。