行程问题-相遇问题1恰好相遇

分析：这道题的原始数据里，速度用「千米/小时」、距离用「米」、时间用「分钟」，三种单位混在一句话里。列方程之前必须先统一单位：$1530$ 米 $=1.53$ 千米，$9$ 分钟 $=\dfrac{9}{60}=0.15$ 小时。

列方程：设乙的速度为 $x$ 千米/小时，则甲的速度为 $(x+10)$ 千米/小时。相向而行，相遇时路程和等于两地距离：$(x+10+x)\times 0.15=1.53$，即 $2x+10=10.2$，解得 $x=0.1$。

答案：$3$ 小时后两车相遇。

理由：相向而行，两车共走完全部 $450$ 千米。速度和为 $65+85=150$ 千米/小时。设经过 $t$ 小时相遇：$150t=450$，解得 $t=3$。

检验：慢车走 $65\times 3=195$ 千米，快车走 $85\times 3=255$ 千米，$195+255=450$ ✓。

答案：慢车行驶 $\dfrac{163}{60}$ 小时（约 $2.72$ 小时，即约 $2$ 小时 $43$ 分钟）后相遇。

理由：快车先开 $30$ 分钟 $=0.5$ 小时，先行了 $85\times 0.5=42.5$ 千米。剩下的路程由两车相向共同走完：剩余路程 $=450-42.5=407.5$ 千米。设慢车行驶了 $t$ 小时后相遇：$(65+85)t=407.5$，$150t=407.5$，$t=\dfrac{407.5}{150}=\dfrac{163}{60}\approx 2.72$ 小时。

易错：① 别把「快车先开 $30$ 分钟」算进慢车的行驶时间里 —— 问的是「慢车行驶了多少小时」；② 别写成 $65t+85t=450$，那样等于两车同时出发。先走的一方「独占」了一段路程，这段必须从总路程里减掉。

答案：慢车每小时行 $48$ 千米。

理由：设慢车每小时行 $x$ 千米。两车同时相对开出，$10$ 小时相遇，路程和为两地距离：$(50+x)\times 10=980$，即 $50+x=98$，解得 $x=48$。

检验：快车走 $50\times 10=500$ 千米，慢车走 $48\times 10=480$ 千米，$500+480=980$ ✓。

方法：「总路程 $\div$ 时间 $=$ 速度和，速度和 $-$ 已知速度 $=$ 所求速度」。这是由「路程和 $=$ 速度和 $\times$ 时间」直接变形的，不必另设未知数重列方程。

答案：两人相遇时走了 $5$ 分钟。

方法一（整体看路程和）：哥哥到 $B$ 地后立即返回，与弟弟相向而行。从出发到第二次相遇，两人走过的路程之和正好是「$2$ 个 $AB$ 距离」——哥哥走了一个全程加一段回程，弟弟走了一段，合起来刚好两个全程。所以总路程和 $=2\times 700=1400$ 米，速度和 $=210+70=280$ 米/分，相遇时间 $=\dfrac{1400}{280}=5$ 分钟。

方法二（分段算）：哥哥到 $B$ 地需 $\dfrac{700}{210}=\dfrac{10}{3}$ 分钟，此时弟弟走了 $70\times\dfrac{10}{3}=\dfrac{700}{3}$ 米，距 $B$ 地还有 $\dfrac{1400}{3}$ 米。之后两人相向：$\dfrac{1400}{3}\div(210+70)=\dfrac{1400}{840}=\dfrac{5}{3}$ 分钟。合计 $\dfrac{10}{3}+\dfrac{5}{3}=5$ 分钟。

记住这个结论：「从一端到另一端再返回与第二次相遇，两人路程和 $=2$ 倍全程」——比分段算快得多，也是后面「错车问题」的思维雏形。

通法：相遇问题的核心等式只有一个 —— 路程和 $=$ 速度和 $\times$ 时间。做题顺序：① 统一单位；② 画一张「$A\xrightarrow{\ \ }B$」草图，标出各自方向；③ 设所求速度（或时间）为 $x$；④ 用「路程和 $=$ 全程」列方程；⑤ 代回检验（数量级 $+$ 等量）。

正确选项：A（$3$ 小时）。

理由：速度和 $=50+30=80$ 千米/小时。设经过 $t$ 小时相遇：$80t=240$，$t=3$。

检验：客车走 $50\times 3=150$ 千米，货车走 $30\times 3=90$ 千米，合计 $240$ 千米 ✓。

提醒：「相向而行」一定用速度和；如果题目改成同向，就要用速度差。

正确选项：B（$3$ 小时）。

理由：快车先行 $0.5$ 小时，走了 $80\times 0.5=40$ 千米；剩余 $400-40=360$ 千米由两车相向共同走完，速度和 $=80+40=120$ 千米/小时，慢车行驶时间 $=360\div 120=3$ 小时。

易错：① 把「快车先开」的时间算进慢车行驶时间里；② 忘了先扣掉快车先走的路程。问的是「慢车行驶了多少小时」，答案就是共同行走那段所用的时间。

正确选项：C（靠近 $B$ 一侧）。

理由：相遇时两人走的时间相同，路程与速度成正比：速度大的走的路程多。甲从 $A$ 出发且速度大，甲走的路程超过全程的一半，相遇点偏向速度小的一方出发的地点，即靠近 $B$（乙的出发地）。

方法：比较两边路程 $v_甲t$ 与 $v_乙t$ 即可，不需要算出具体距离；只有两人速度相等时相遇点才在中点。

正确选项：B（$5$ 分钟）。

理由：哥哥到 $B$ 后返回与弟弟相遇，从出发到这次相遇，两人路程之和等于 $2$ 倍全程：$2\times 700=1400$ 米；速度和 $=210+70=280$ 米/分；时间 $=\dfrac{1400}{280}=5$ 分钟。

结论：返回类相遇时间 $=\dfrac{2\times\text{全程}}{\text{速度和}}$，这是通用公式，可以直接用。