行程问题-圆周跑问题2追击问题

答案：$5$ 分钟后两人首次相遇。

理由：甲的速度是乙的 $1.25$ 倍，即甲每分钟 $80\times 1.25=100$ 米。甲快、乙慢，且乙在甲前面 $100$ 米 —— 甲要追上乙，只需把这 $100$ 米的差距补回来（属于模型（1）：路程差 $=$ 起点间距）。

速度差 $=100-80=20$ 米/分。设经过 $t$ 分钟首次相遇：$20t=100$，解得 $t=5$ 分钟。

检验：$5$ 分钟里甲走 $500$ 米，乙走 $400$ 米。甲比乙多走 $100$ 米，正好补上出发时的差距 ✓（想象成把环形跑道剪直来看：两人相差 $100$ 米，甲每分钟追近 $20$ 米）。

易错：这里不用「跑一圈 $400$ 米」！因为乙已经在甲前面，甲只要追 $100$ 米就碰上了，不需要绕一整圈。

答案：$8$ 分钟后两人首次相遇。

理由：两人从同一处同时同向出发，甲（骑车）比乙（跑步）快。甲要「追上」乙，必须比乙多跑整整一圈（$400$ 米），才能从后面绕上来与乙重逢。

速度差 $=150-100=50$ 米/分。设经过 $t$ 分钟首次相遇：$50t=400$，解得 $t=8$ 分钟。

检验：$8$ 分钟里甲骑 $150\times 8=1200$ 米 $=3$ 圈，乙跑 $100\times 8=800$ 米 $=2$ 圈，甲比乙正好多 $1$ 圈（$400$ 米），所以两人在同一位置相遇 ✓。

对照例 1：起点相同时路程差取一圈；起点一前一后时路程差取间距。这就是模型（1）与模型（2）的区别。

答案：经过 $\dfrac{4}{7}$ 秒两人首次相遇。

理由：甲的速度是乙的 $\dfrac{4}{3}$ 倍，即甲每秒 $6\times\dfrac{4}{3}=8$ 米。两人反向（相向）出发，属于「合走」型：从相距 $8$ 米到一起相遇，两人合走 $8$ 米即可。

速度和 $=8+6=14$ 米/秒。设经过 $t$ 秒首次相遇：$14t=8$，解得 $t=\dfrac{4}{7}$ 秒。

检验：这 $\dfrac{4}{7}$ 秒里甲跑 $8\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{32}{7}$ 米，乙跑 $6\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{24}{7}$ 米，合计 $\dfrac{56}{7}=8$ 米 ✓。

提醒：相向出发时，路程取两人之间的初始距离（这里 $8$ 米），用速度和去除 —— 不是一整圈 $400$ 米。

答案：经过 $196$ 秒两人首次相遇。

理由：甲每秒 $8$ 米、乙每秒 $6$ 米，甲快。但这里甲在乙前面 $8$ 米 —— 甲越跑越远，乙追不上甲；两人要再次相遇，只能是甲绕一圈从后面追上乙。

甲需要比乙多跑「一整圈减去前面的 $8$ 米」，即 $400-8=392$ 米。速度差 $=8-6=2$ 米/秒。设经过 $t$ 秒首次相遇：$2t=392$，解得 $t=196$ 秒。

检验：$196$ 秒里甲跑 $8\times 196=1568$ 米，乙跑 $6\times 196=1176$ 米，甲比乙多 $392$ 米；加上甲原本领先的 $8$ 米，正好多了 $400$ 米 $=$ 一圈，两人重合 ✓。

易错：「甲在前面同向」时路程差不是 $8$ 米，而是「一圈 $-$ 间距」$=392$ 米。快者在前时是它绕圈回来追慢者，这段路要算清楚。

通法：先判断起点与前后关系，再定「路程差」：
· 同地同向出发 $\rightarrow$ 路程差 $=$ 一圈长（多跑一圈即相遇）；
· 一前一后同向、慢者在前 $\rightarrow$ 路程差 $=$ 起点间距；
· 一前一后同向、快者在前 $\rightarrow$ 路程差 $=$ 一圈长 $-$ 起点间距；
· 反向（相向）出发 $\rightarrow$ 路程和 $=$ 起点间距。
列式一律为「速度差 $\times$ 时间 $=$ 路程差」或「速度和 $\times$ 时间 $=$ 路程和」。

正确选项：C（$10$ 分钟）。

理由：同一地点同时同向出发，甲要追上乙必须多跑一整圈 $400$ 米。速度差 $=120-80=40$ 米/分，时间 $=400\div 40=10$ 分钟。

检验：$10$ 分钟里甲走 $1200$ 米 $=3$ 圈，乙走 $800$ 米 $=2$ 圈，甲正好多一圈 ✓。

正确选项：B（$17$ 分钟）。

理由：甲在乙前面 $60$ 米且速度快，甲会越跑越远，要再次相遇只能是甲绕一圈从后面追上乙，需要多跑 $400-60=340$ 米。速度差 $=100-80=20$ 米/分，时间 $=340\div 20=17$ 分钟。

易错：误用「只追 $60$ 米」。快者在前时路程差是「一圈 $-$ 间距」。

正确选项：D（$600$ 秒）。

理由：同地同向首次相遇要多跑一圈 $600$ 米。速度差 $=5-4=1$ 米/秒，时间 $=600\div 1=600$ 秒。

检验：甲跑 $5\times 600=3000$ 米 $=5$ 圈，乙跑 $4\times 600=2400$ 米 $=4$ 圈，甲多一圈 ✓。

正确选项：C（$400$ 秒）。

理由：同地同向出发，第 $n$ 次相遇时甲比乙多跑 $n$ 圈。第二次相遇要多跑 $2$ 圈：$2\times 400=800$ 米。速度差 $=6-4=2$ 米/秒，时间 $=800\div 2=400$ 秒。

提醒：「第 $n$ 次相遇多跑 $n$ 圈」与相向型的「第 $n$ 次相遇合走 $n$ 圈」是一对镜像结论，注意区分「多跑」（速度差）和「合走」（速度和）。