工程问题

答案：甲队单独做需 $10$ 天，乙队单独做需 $15$ 天。

设元与列方程：设甲队单独做需 $x$ 天，则乙队单独做需 $(x+5)$ 天。工作总量记为 $1$，则甲每天做 $\dfrac{1}{x}$、乙每天做 $\dfrac{1}{x+5}$。两队合作 $6$ 天完成：
$6\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}\right)=1$，即 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{6}$。

解方程：两边同乘 $6x(x+5)$：$6(x+5)+6x=x(x+5)$，整理得 $x^2-7x-30=0$，即 $(x-10)(x+3)=0$，所以 $x=10$（$x=-3$ 不合题意，舍去）。故甲队 $10$ 天、乙队 $15$ 天。

检验（必做）：$\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{3}{30}+\dfrac{2}{30}=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}$，两人合作正好 $6$ 天完成 ✓；且 $15-10=5$，乙比甲多 $5$ 天 ✓。

说明：这道题去分母后整理得到的是一个一元二次方程，整理后能用因式分解（十字相乘）得到整数根，属于本讲的「拔高题」。七上阶段若暂时不会解，可用试算 $+$ 检验：因为合作 $6$ 天完成，甲单独做一定比 $6$ 天多，从 $x=7,8,9,\cdots$ 试着代入 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}$，算到 $x=10$ 时恰好等于 $\dfrac{1}{6}$。重点在设元与列方程的思路，考试中更常见的是下面例 2 那种「一次方程」的工程题。

答案：乙做了 $8$ 天（甲做 $4$ 天）。

理由：工作总量记为 $1$。甲每天做 $\dfrac{1}{20}$，乙每天做 $\dfrac{1}{10}$。

设乙做了 $y$ 天，则甲做了 $(12-y)$ 天（先后共计 $12$ 天）。两人工作量相加等于 $1$：
$\dfrac{y}{10}+\dfrac{12-y}{20}=1$。

两边同乘 $20$：$2y+(12-y)=20$，即 $y+12=20$，解得 $y=8$。所以乙做了 $8$ 天，甲做了 $12-8=4$ 天。

检验：乙完成 $\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$，甲完成 $\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}$，合计 $1$ ✓。

易错：「共计 $12$ 天」是两人用时之和，所以甲的时间要写成 $(12-y)$，不能另外设未知数、也不能以为两人同时做。

答案：先安排 $2$ 人工作。

理由：工作总量记为 $1$，一人做要 $40$ 小时，所以每人每小时的效率是 $\dfrac{1}{40}$。

设先安排 $n$ 人。分两段：
第一段：$n$ 人做 $4$ 小时，工作量 $=\dfrac{1}{40}\times 4n=\dfrac{4n}{40}$；
第二段：增加 $2$ 人后共 $(n+2)$ 人做 $8$ 小时，工作量 $=\dfrac{1}{40}\times 8(n+2)=\dfrac{8(n+2)}{40}$。

两段之和等于 $1$：$\dfrac{4n}{40}+\dfrac{8(n+2)}{40}=1$。两边同乘 $40$：$4n+8n+16=40$，即 $12n=24$，解得 $n=2$。

检验：第一段 $2$ 人 $4$ 小时 $=8$ 人·时；第二段 $4$ 人 $8$ 小时 $=32$ 人·时；合计 $40$ 人·时，正好是一人 $40$ 小时的工作量 ✓。

方法：「人均工效」是本题的关键 —— 先把「一个人一小时做多少」算出来（$\dfrac{1}{40}$），再乘「人数 $\times$ 工时」。

通法：① 把工作总量设为 $1$（这是工程题与行程题最大的区别）；② 单人（队）单独 $n$ 天完成 $\Rightarrow$ 效率 $=\dfrac{1}{n}$，人均完成 $\Rightarrow$ 每人每小时 $=\dfrac{1}{n}$ 再乘人数；③ 分段做就把各段工作量相加 $=1$；合作做就把效率和 $\times$ 时间 $=1$；④ 代回检验（各段之和是否为 $1$）。

正确选项：B（$6$ 天）。

理由：工作总量记为 $1$，甲每天 $\dfrac{1}{10}$、乙每天 $\dfrac{1}{15}$，合作效率 $=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{3}{30}+\dfrac{2}{30}=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}$，所以合作 $6$ 天完成。

提醒：合作时间 $=1\div$ 效率和，不是两人各自时间之和。

正确选项：C（$6$ 天）。

理由：甲每天 $\dfrac{1}{12}$，乙每天 $\dfrac{1}{24}$；甲先做 $3$ 天完成 $\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$，剩下 $\dfrac{3}{4}$。两人合作效率 $=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{8}$，所需时间 $=\dfrac{3}{4}\div\dfrac{1}{8}=6$ 天。

检验：甲共做 $9$ 天 $\times\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{4}$，乙做 $6$ 天 $\times\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{4}$，合计 $1$ ✓。

正确选项：B（$\dfrac{10}{3}$ 小时）。

理由：甲管每小时注 $\dfrac{1}{5}$，乙管每小时注 $\dfrac{1}{10}$，齐开效率 $=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{10}$，时间 $=1\div\dfrac{3}{10}=\dfrac{10}{3}$ 小时。

提醒：注水问题与工程问题完全同构，把「一池水」当作工作总量 $1$。

正确选项：A（$1$ 人）。

理由：工作总量记为 $1$，每人每小时做 $\dfrac{1}{20}$。设先安排 $n$ 人：第一段工作量 $=\dfrac{2n}{20}$，第二段 $=\dfrac{6(n+2)}{20}$，两段之和为 $1$：$\dfrac{2n+6(n+2)}{20}=1$，两边乘 $20$ 得 $2n+6n+12=20$，$8n=8$，$n=1$。

检验：$1$ 人 $2$ 小时 $=2$ 人·时，$3$ 人 $6$ 小时 $=18$ 人·时，合计 $20$ 人·时 $=$ 一人 $20$ 小时的工作量 ✓。