日历中的问题

关系：日历同一竖列上相邻两个数相差 $7$（因为每行 $7$ 天，下一行同一列就是「加 $7$」）。

答案：这四天分别是 $4$ 号、$11$ 号、$18$ 号、$25$ 号。

理由：设框出的第一个数（最上面那个）为 $x$，则竖列上往下依次是 $x+7$、$x+14$、$x+21$。四数之和为 $58$：
$x+(x+7)+(x+14)+(x+21)=58$，即 $4x+42=58$，$4x=16$，解得 $x=4$。

所以四天依次是 $4$、$11$、$18$、$25$ 号。

检验：$4+11+18+25=58$ ✓。

另一条思路（更快）：竖列四数成等差数列，平均数 $=$ 首尾两数的平均数。四数之和 $58$，平均每数 $58\div 4=14.5$，正好是中间两数 $11$ 与 $18$ 的平均 —— 由此可立刻判断四数关于「$14.5$」对称，间隔 $7$，即 $4$、$11$、$18$、$25$。

答案：这四天分别是 $15$ 号、$16$ 号、$22$ 号、$23$ 号。

理由：用正方形（$2\times 2$）圈住 $4$ 个数，设左上角那个数为 $x$，则：

· 它右边一个（同一行）：$x+1$；
· 它下面一个（同一列）：$x+7$；
· 右下角那个：$x+8$（先右再加 $7$，或先下再加 $1$，结果都一样）。

四数之和为 $76$：$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=76$，即 $4x+16=76$，$4x=60$，解得 $x=15$。

所以四个数是 $15$、$16$、$22$、$23$。

检验：$15+16+22+23=76$ ✓。（对照图示的日历：$15$ 在第三行第二列、$16$ 在其右、$22$、$23$ 在下一行，正好构成一个 $2\times 2$ 方块。）

关键：$2\times 2$ 方块的四个数永远是「$x$、$x+1$、$x+7$、$x+8$」—— 记住这个模板，任何正方形框日历题都能秒设。

答案：五个数的平均数等于中心数 $15$（即平均数 $=15$）。

理由：设十字框的中心数为 $n$。观察数表：同一列相邻两数相差 $10$（因为每行 $5$ 个数、每个数相差 $2$，所以下一行同列相差 $5\times 2=10$）；同一行相邻两数相差 $2$。

于是十字框的五个数可以写成：
上 $=n-10$，下 $=n+10$，左 $=n-2$，右 $=n+2$，中心 $=n$。

五数之和 $=(n-10)+(n-2)+n+(n+2)+(n+10)=5n$（上下抵消 $10$、左右抵消 $2$）。所以平均数 $=\dfrac{5n}{5}=n$，恰好等于中心数。

取图中中心数 $n=15$：五数为 $5$、$13$、$15$、$17$、$25$，和为 $75$，平均数 $75\div 5=15$ ✓，与中心数相等。

答案：能。这五个数是 $53$、$61$、$63$、$65$、$73$。

理由：由 (1) 知十字框五数之和恒等于 $5n$（$n$ 为中心数）。令 $5n=315$，解得 $n=63$。

所以五个数分别是：上 $63-10=53$、左 $63-2=61$、中心 $63$、右 $63+2=65$、下 $63+10=73$。

检验：$53+61+63+65+73=315$ ✓；且这五个数在数表中确实能构成一个十字（$53$ 与 $63$ 同列相隔两行、$61$、$65$ 与 $63$ 同行相邻）✓。

方法：「和能否等于某个数」的题，先把「和」用中心数（或最小数）表示出来，再解方程。—— 若解出的中心数在数表范围内、且十字不越界，就说明「能」；否则「不能」。本题解出 $63$，位置合适，所以能。

通法：① 记牢三个「差」：同行相邻差 $1$、同列相邻差 $7$、连续奇数数表中「同行差 $2$、同列差 $10$」；② 把框里的所有数用一个未知数（通常取最小数或中心数）表示出来；③ 按题目给的「和为多少」列方程；④ 解出后检查是否越出日历（数表）边界，再回代检验。

正确选项：B（$13$）。

理由：竖列相邻三数相差 $7$，设中间数为 $n$，则三数为 $n-7$、$n$、$n+7$，和为 $3n$。由 $3n=39$ 得 $n=13$。

检验：三数 $6$、$13$、$20$，和为 $39$ ✓。

方法：相同间隔的连续几个数，和 $=$ 个数 $\times$ 中间数，这是最快的方法。

正确选项：A（$10$）。

理由：同行相邻三数相差 $1$，设最小的数为 $x$，则三数为 $x$、$x+1$、$x+2$，和为 $3x+3=33$，解得 $x=10$。

检验：$10+11+12=33$ ✓。

正确选项：C（$12$）。

理由：设左上角为 $x$，则四数为 $x$、$x+1$、$x+7$、$x+8$，和 $=4x+16=64$，解得 $x=12$。

检验：$12+13+19+20=64$ ✓。

提醒：方块的模板是 $x$、$x+1$、$x+7$、$x+8$。

正确选项：D（$29$）。

理由：设最上面的数为 $x$，则四数为 $x$、$x+7$、$x+14$、$x+21$，和 $=4x+42=74$，解得 $x=8$。最大的数是 $x+21=8+21=29$。

检验：四数 $8$、$15$、$22$、$29$，和 $74$ ✓，且都 $<31$，在实际日历中可框出 ✓。