一线三等角综合

先看这个图形怪在哪：$D$、$C$、$E$ 依次排在直线 $l$ 上，$AD$、$BE$ 都垂直于 $l$，而 $\angle ACB$ 也是 $90^\circ$。三个直角挤在一处，这就是「一线三等角」模型（也叫 K 型）。

证全等需要用 AAS：两个直角是现货，等边是现货，只差一组角。这组角靠互余来找：

1. 在 $\mathrm{Rt}\triangle ADC$ 中，两个锐角互余：$\angle DAC+\angle ACD=90^\circ$。
2. $D$、$C$、$E$ 在一条直线上，$C$ 在中间，所以 $\angle DCE=180^\circ$，即 $\angle ACD+\angle ACB+\angle BCE=180^\circ$；又 $\angle ACB=90^\circ$，所以 $\angle ACD+\angle BCE=90^\circ$。
3. 两式都等于 $90^\circ$，减去同一个 $\angle ACD$，得 $\angle DAC=\angle BCE$。

于是在 $\triangle ADC$ 与 $\triangle CEB$ 中：$\angle ADC=\angle CEB=90^\circ$，$\angle DAC=\angle BCE$，$AC=CB$，由 AAS 得 $\triangle ADC\cong\triangle CEB$。

全等之后，四条线段的位置关系就固定了。按字母顺序对：$A\leftrightarrow C$、$D\leftrightarrow E$、$C\leftrightarrow B$，所以

$AD=CE$，$DC=EB$，$AC=CB$

题目给 $AD=5$，所以 $CE=5$；又 $D$、$C$、$E$ 依次排列，$DE=DC+CE$，于是

$DC=DE-CE=13-5=8$

而 $BE=DC=8$。

结论：$BE=8$。

第（3）问新增的条件是 $CG\perp CF$ 且 $CG=CF$——一个直角加一组等边，和第（1）问的 $\angle ACB=90^\circ$、$AC=BC$ 是同一个配方。所以照样「过 $G$ 作 $l$ 的垂线」：

过 $G$ 作 $GN\perp l$，垂足为 $N$。

1. 两个直角。$\angle CDF=90^\circ$（$AD\perp l$ 的延长），$\angle CNG=90^\circ$（作图）。
2. 一组等边。$CF=CG$（已知）。
3. 再靠互余换等角。$D$、$C$、$N$ 在一条直线上，$C$ 在中间，所以 $\angle DCF+\angle FCG+\angle GCN=180^\circ$；又 $\angle FCG=90^\circ$，故 $\angle DCF+\angle GCN=90^\circ$。而在 $\mathrm{Rt}\triangle CDF$ 中 $\angle DCF+\angle DFC=90^\circ$，两式相减得 $\angle DFC=\angle GCN$。

由 AAS 得 $\triangle CDF\cong\triangle CGN$，于是

$GN=CD=10$，$CN=DF$

现在手上有一条关键的东西：$GN=10=CD$。而 $BE=CD$（第（1）问的对应边），所以 $BE=GN=10$。

① $H$ 把 $BG$ 平分。$BE\perp l$、$GN\perp l$，两个直角相等；$\angle BHE$ 与 $\angle GHN$ 是对顶角；又 $BE=GN$。由 AAS 得 $\triangle BEH\cong\triangle GNH$，所以

$BH=HG$，$EH=HN$

② 把 $CH$ 用两段路各算一次。沿 $l$ 从左往右：$CH=CE+EH$；沿着 $N$ 那头：$CN=CH+HN=CH+EH$。两式相减：

$CN-CH=CH-CE$，即 $2CH=CE+CN$

而 $CE=AD$（第（1）问）、$CN=DF$（第三步），所以 $2CH=AD+DF=AF$。

③ 面积定 $CH$。$\triangle CGH$ 以 $CH$ 为底，高就是 $G$ 到 $l$ 的距离，即 $GN=10$：

$S_{\triangle CGH}=\dfrac{1}{2}\cdot CH\cdot GN=5CH=30$

解得 $CH=6$，于是 $AF=2CH=12$。

结论：$AF=12$。

回头看一眼：这道题没有用一次勾股定理，也没有设未知数列方程，全靠两对全等把长度搬来搬去，最后一次面积公式收尾。这正是「模型题」的特点——图形认对了，路就短。

一线三等角三步法：① 找那条直线上的三个等角（本题是三个 $90^\circ$）；② 用互余（$90^\circ$ 减同一个角）或互补把剩下的一组角证相等；③ AAS 全等，然后只做一件事：把线段搬成「和」或「差」。三条线段落在同一条直线上时，中间那个点在哪，决定是加还是减。

正确答案：$8$。全等给出 $AD=CE=3$、$DC=BE=5$，$D$、$C$、$E$ 依次排列，所以 $DE=5+3=8$。错选 $2$ 的是把「依次排列」当成了「$D$、$E$ 在 $C$ 同侧」，加减用反了。

正确答案：$AD+DE=BE$。前三个结论都能由 $DE=DC+CE$ 与 $DC=BE$、$CE=AD$ 换出来；最后一条化简后要求一边长为 $0$，不可能。记住这条恒等关系：$DE=AD+BE$。

正确答案：$5$。这时 $D$、$E$ 落在 $C$ 同侧，全等照样成立（互余那一环不变），但 $DE=CE-DC=AD-BE=9-4=5$。错选 $13$ 的同学没有重新判断三点顺序——模型会变，加减号跟着变。

正确答案：$6$。由全等与共线得 $AD+BE=DE=10$；由面积得 $\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot BE=12$，即 $AD\cdot BE=24$。于是 $AD$、$BE$ 是 $4$ 和 $6$，再由 $AD