三角形全等+角平分线综合

图上直角有三个，各有各的用处：

• $\angle ACB=90^\circ$：$AC\perp BC$；
• $MN\perp AC$ 于 $N$：$\angle ANM=90^\circ$；
• $PQ\perp AB$ 于 $Q$：$\angle AQP=90^\circ$。

其中前两个直角合起来给出一条平行：$MN$ 与 $BC$ 都垂直于 $AC$，由「垂直于同一条直线的两条直线互相平行」得

$MN\parallel BC$

有了平行就能搬角。$AM\perp AB$，所以 $AM$ 与 $BC$ 的夹角是 $90^\circ-\angle ABC$；又 $MN\parallel BC$，$AM$ 与 $MN$ 的夹角也是 $90^\circ-\angle ABC$，即

$\angle AMN=90^\circ-\angle ABC=\angle BAC$

而 $Q$ 在 $AB$ 上、$P$ 在 $AC$ 上，所以 $\angle QAP=\angle BAC$。于是

$\angle AMN=\angle QAP$

现在看 $\triangle AQP$ 与 $\triangle MNA$ 这两个三角形，它们的三个条件已经齐了：

• $\angle AQP=90^\circ$（$PQ\perp AB$），$\angle MNA=90^\circ$（$MN\perp AC$）；
• $\angle QAP=\angle AMN$（第一步刚证）；
• $AQ=MN$（已知，图上单杠）。

两个角加一条边，而且这条边正好夹在两个角之间，由 AAS（也可写成 ASA）得

$\triangle AQP\cong\triangle MNA$

按「边对着角」的顺序找对应：$AQ$ 对着 $\angle APQ$，$MN$ 对着 $\angle MAN$；对应关系是 $A\leftrightarrow M$、$Q\leftrightarrow N$、$P\leftrightarrow A$。于是有两条结论：

到这一步，原题已经被拆成两半：只要再证 $PC=PQ$，就完成了。

$PC$ 与 $PQ$ 都在点 $P$ 上：$PQ\perp AB$，而 $PC$ 落在 $AC$ 上。要让它们相等，最顺手的工具是角平分线——如果 $P$ 在 $\angle ABC$ 的平分线上，那么它到 $BA$、$BC$ 的距离就相等，而这两条距离正好是 $PQ$ 与 $PC$。所以问题变成：$BP$ 是不是 $\angle ABC$ 的平分线？

从 $AP=AM$ 出发。$\triangle APM$ 是等腰三角形，等边对等角：

$\angle APM=\angle AMP$

接下来换角，两处都要看清楚：

1. 对顶角。$A$、$P$、$C$ 共线，所以射线 $PA$ 与 $PC$ 互为反向延长线；$M$ 在 $BP$ 的延长线上，所以 $P$ 在 $B$、$M$ 之间，射线 $PM$ 与 $PB$ 也互为反向延长线。于是 $\angle APM$ 与 $\angle BPC$ 是对顶角，$\angle BPC=\angle APM$。
2. 同一个角换名字。$M$、$P$、$B$ 共线，从 $M$ 出发的射线 $MP$ 与 $MB$ 是同一条，所以 $\angle AMP$ 就是 $\angle AMB$。

把两条串起来：$\angle BPC=\angle AMB$。再用两个直角各减一次：

• 在 $\mathrm{Rt}\triangle ABM$ 中（$\angle BAM=90^\circ$）：$\angle ABM=90^\circ-\angle AMB$；
• 在 $\mathrm{Rt}\triangle PBC$ 中（$\angle PCB=90^\circ$）：$\angle PBC=90^\circ-\angle BPC$。

减掉的角相等，剩下的大角也相等，所以 $\angle ABM=\angle PBC$。而 $M$ 在 $BP$ 的延长线上，$\angle ABM$ 就是 $\angle ABP$，于是

$\angle ABP=\angle PBC$

也就是 $BP$ 平分 $\angle ABC$。这一讲的标题里写着「角平分线」，说的就是这一步——题目从头到尾没提角平分线，它得自己证出来。

$P$ 在 $\angle ABC$ 的平分线上，$PQ\perp BA$ 于 $Q$，$PC\perp BC$ 于 $C$（因为 $P$ 在 $AC$ 上、$\angle ACB=90^\circ$），由

角平分线上的点到角两边的距离相等

直接得 $PQ=PC$。结合第二步的 $PQ=AN$：

$PC=PQ=AN$

证毕。

回头整理解题链：AAS 全等（用掉 $AQ=MN$）→ $AP=AM$ → 等腰 + 对顶角 → $BP$ 平分 $\angle ABC$ → 距离相等 → $PC=PQ=AN$。三个环节各用一块知识：全等、等腰、角平分线，这也是这道题被编在同一章的原因。

「先全等，后角平分线」两段式：① 数一数图上的直角，凡是两条直线同垂直于第三条，就写出一组平行（本题 $MN\parallel BC$），平行是把角搬来搬去的通道；② 把已知的相等线段（$AQ=MN$）与两个直角、一个相等角凑成 AAS，先拿到「一条边 + 一个等腰」；③ 等腰三角形出现后，用等边对等角加上对顶角把角搬到两个直角三角形里，各减 $90^\circ$，往往就能挖出一条角平分线；④ 有了角平分线，「到两边的距离相等」可以把线段在 $AB$ 方向与 $BC$ 方向之间自由替换，本题的最后一步就是这么完成的。

正确答案：AAS。两个直角加上 $\angle QAP=\angle AMN$，再加 $AQ=MN$，边是其中一个角的对边，所以是 AAS。错选 SAS 的是没注意 $AQ$、$MN$ 并不夹在两个相等角之间。

正确答案：同垂直于一条直线的两条直线互相平行。$MN\perp AC$、$BC\perp AC$，所以 $MN\parallel BC$。这一步是后面把 $\angle AMN$ 换成 $\angle BAC$ 的唯一依据，写证明时不能省。

正确答案：$BP$ 平分 $\angle ABC$。路径是：等边对等角 → 对顶角 → 两个直角三角形各减 $90^\circ$。这也是整道题最关键的一步，题目里并没有直接给角平分线。

正确答案：角平分线上的点到角两边的距离相等。注意 $PC$ 之所以是「到 $BC$ 的距离」，靠的是 $P$ 在 $AC$ 上且 $\angle ACB=90^\circ$，这一句要在卷面上写出来。