倍长中线综合（二）

条件是 $OA=OD$、$OB=OC$、$AC=BD$，六条线段里恰好有三条能拼成两个三角形：

$\triangle AOC$ 与 $\triangle DOB$

• $AO=DO$（已知，单杠）；
• $OC=OB$（已知，双杠）；
• $AC=DB$（已知，图上红色）；

三条边分别相等，由 SSS 得 $\triangle AOC\cong\triangle DOB$，于是 $\angle AOC=\angle DOB$。

接下来把它拆成 $O$ 周围的角。因为 $O$ 在四边形内部，射线 $OB$ 夹在 $OA$ 与 $OC$ 之间、射线 $OA$ 夹在 $OD$ 与 $OB$ 之间，所以

$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC$，$\angle DOB=\angle AOB+\angle AOD$

两式右边都含 $\angle AOB$，而左边相等，两边同时减去 $\angle AOB$：

$\angle BOC=\angle AOD$

$OE$ 是 $O$ 到中点 $E$ 的连线，它只在一半的位置上；而 $AB$ 是一条实实在在的边。要让它们进同一个三角形，就得把 $OE$ 延长一倍：

延长 $OE$ 到 $G$，使 $EG=OE$，连接 $CG$、$DG$．

1. 先出一条平行四边形。$E$ 是 $CD$ 的中点（已知），又 $E$ 是 $OG$ 的中点（作图），所以 $CD$ 与 $OG$ 互相平分，四边形 $CODG$ 是平行四边形。
2. 把长度搬过来。平行四边形的对边相等：$CG=OD=OA$（因为 $OA=OD$）。
3. 本来就有的边。$CO=OB$（已知）。
4. 第三条边也有了。$OG=2OE=AB$（已知 $AB=2OE$，而 $OG=2OE$）。

于是在 $\triangle AOB$ 与 $\triangle GCO$ 中：$OA=CG$、$OB=CO$、$AB=GO$，由 SSS 得 $\triangle AOB\cong\triangle GCO$，所以 $\angle AOB=\angle GCO$。

再看平行四边形：$CG\parallel OD$，$CO$ 是截线，同旁内角互补，

$\angle GCO+\angle COD=180^\circ$

把 $\angle GCO$ 换成 $\angle AOB$，得 $\angle AOB+\angle COD=180^\circ$。

最后一步是「一圈 $360^\circ$」：$O$ 在四边形内部，四个角 $\angle AOB$、$\angle BOC$、$\angle COD$、$\angle DOA$ 恰好围满一圈，

$\angle AOB+\angle BOC+\angle COD+\angle AOD=360^\circ$

其中前两项加后两项里已经有一对互补，剩下的自然也互补：

$\angle AOD+\angle BOC=360^\circ-180^\circ=180^\circ$

要证 $E$、$O$、$F$ 共线。$F$ 是 $O$ 到 $AB$ 的垂足，所以只要证 $OE\perp AB$——过 $O$ 且垂直于 $AB$ 的直线只有一条，$E$ 落在上面就共线了。

辅助线还是同一根：延长 $OE$ 到 $G$，使 $EG=OE$，连 $CG$、$DG$，四边形 $CODG$ 是平行四边形，$CG=OD=OA$，$CG\parallel OD$。

第二步：把 $\angle GCO$ 换成 $\angle AOB$。方法同第（2）问：$O$ 周围四角之和是 $360^\circ$，而 $\angle AOD=\angle BOC=90^\circ$，所以 $\angle AOB+\angle COD=180^\circ$；又 $\angle GCO+\angle COD=180^\circ$，于是 $\angle GCO=\angle AOB$。

第三步：SAS 全等。在 $\triangle AOB$ 与 $\triangle GCO$ 中：$OA=GC$，$\angle AOB=\angle GCO$，$OB=CO$，由 SAS 得 $\triangle AOB\cong\triangle GCO$，于是

$\angle ABO=\angle GOC$

第四步：把两个角加起来。设 $\angle ABO=\alpha$。

• 在 $\mathrm{Rt}\triangle OBF$ 中（$OF\perp AB$）：$\angle BOF=90^\circ-\alpha$；
• 而 $\angle BOG=\angle BOC+\angle COG=90^\circ+\alpha$。

$\angle BOF+\angle BOG=90^\circ-\alpha+90^\circ+\alpha=180^\circ$

$\angle BOF$ 与 $\angle BOG$ 都以射线 $OB$ 为一边、分居两侧，加起来正好是一个平角，所以 $F$、$O$、$G$ 三点共线。而 $G$ 在 $OE$ 的延长线上（$E$ 是 $OG$ 的中点），$E$、$O$、$F$ 自然也在同一条直线上。

把三问并排看，会发现问题只有一个骨架，变的只是「新条件」：

• （1）新条件是 $AC=BD$，三条边全给了，用 SSS；不需要辅助线。
• （2）新条件是 $AB=2OE$，把 $OE$ 延长一倍，$OG$ 就是 $AB$，还是 SSS。
• （3）新条件只有两个 $90^\circ$，长度一个都没给，于是同样的全等改用 SAS（夹角由「四角和 $360^\circ$」算出来）。

所以整道题只有一句口诀：

见中点（$E$ 是 $CD$ 的中点）→ 连 $OE$ 并延长一倍 → 得到平行四边形 $CODG$ → 在 $\triangle AOB$ 与 $\triangle GCO$ 之间做全等。

下面这张图是第（3）问的关键一步：延长之后，$CODG$ 成了平行四边形，而 $F$、$O$、$G$ 偏偏在一条直线上——这条直线就是 $OE$ 所在的直线。

最后补一句结论：由（3）的 $\triangle AOB\cong\triangle GCO$ 还能得到 $OG=AB$，也就是 $AB=2OE$——这正是（2）的条件。所以（3）的条件比（2）更强，（2）的结论 $\angle AOD+\angle BOC=180^\circ$ 在（3）里自动成立（$90^\circ+90^\circ=180^\circ$）。两问能互相印证，说明推理没走偏。

「中点 → 倍长 → 平行四边形 → 全等」四步法：① 题里出现中点（或中线），先看它所在的线段能不能延长一倍；② 延长后与另一条线段互相平分，直接得到平行四边形，对边平行且相等就能把长度搬到需要的位置；③ 用 SSS 或 SAS 把要用的三角形凑成全等，问自己要的角、要的边落在哪两个三角形里；④ 收尾常用三件工具：三边关系、四角和 $360^\circ$、平角 $180^\circ$（证三点共线就靠它）。

正确答案：$\angle AOD=\angle BOC$。三条边凑齐后由 SSS 得 $\angle AOC=\angle DOB$，再两边同减 $\angle AOB$。错选 $AB=CD$ 的是把「对角线相等」当成了「对边相等」，两者没有关系。

正确答案：两条对角线互相平分。$E$ 既平分 $CD$ 又平分 $OG$，所以 $CODG$ 的对角线互相平分。这一问是（2）（3）的公共起点，判定词选错的同学往往是把「一组对边平行且相等」记混了。

正确答案：$AB=2OE$。核心仍是那个平行四边形与 $\triangle AOB\cong\triangle GCO$，只是这次用 SAS 而不是 SSS。错选「无法确定」的同学是没有意识到条件与结论可以互推。

正确答案：$OE\perp AB$。三点共线加上 $OF\perp AB$，立刻得到 $OE\perp AB$。$OE\perp CD$ 需要 $OC=OD$ 才成立，题目只给了 $OB=OC$ 与 $OA=OD$，别混。