陈建兴讲数学中高考数学微课 · 一道题、一个视频、一类方法、触类旁通倍长中线综合（一）
1先看题
三问一套，先自己做一遍再看视频。
如图 1，在 $triangle ABC$ 中，$AB=4$，$AC=6$，$D$ 是 $BC$ 的中点，求 $BC$ 边上的中线 $AD$ 的取值范围。小明的做法是：延长 $AD$ 到 $E$，使 $DE=AD$，请补充完整证明「$triangle ADCcongtriangle EDB$」的推理过程。
（1）求证：$triangle ADCcongtriangle EDB$．
证明：$because$ 延长 $AD$ 到点 $E$，使 $DE=AD$，
在 $triangle ADC$ 和 $triangle EDB$ 中，
$AD=ED$（已作），
$angle ADC=angle EDB$（＿＿＿＿＿），
$CD=BD$（中点定义），
$thereforetriangle ADCcongtriangle EDB$（＿＿＿＿＿）．
（2）探究得出 $AD$ 的取值范围是 ＿＿＿＿＿．
【感悟】解题时，条件中若出现「中点」「中线」等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】（3）如图 2，$triangle ABC$ 中，$angle B=90^circ$，$AB=4$，$AD$ 是 $triangle ABC$ 的中线，$CEperp BC$，$CE=8$，且 $angle ADE=90^circ$，求 $AE$ 的长．
图 1 $D$ 是 $BC$ 的中点（单杠标出 $BD=DC$），把中线 $AD$ 延长一倍到 $E$（双杠标出 $AD=DE$）；虚线 $BE$、$CE$ 是补出来的辅助线
图 2 $angle B=90^circ$，$AB=4$，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$CEperp BC$ 且 $CE=8$，$angle ADE=90^circ$——三个直角都要在图上找得到
第（1）问两空只是照提示填；第（2）问 20 秒就能写完，但写法很容易丢分；第（3）问才是重点，它要你把「延长中线」这件事再做一次。三问都想清楚，再看视频对照。
2看微课视频
倍长中线综合 · 微课（约 11 分钟）
3文字版解析与理由
看完视频再对答案。答案默认收起，自己想清楚再展开。
第一步 · 第（1）问：三个条件怎么摆
两个空填的是同一件事的两面：
- 第一个空：对顶角相等。$AD$ 与 $DE$ 在同一条直线上，$BC$ 也是一条直线，两条直线相交于 $D$，所以 $angle ADC$ 与 $angle EDB$ 是一对对顶角。
- 第二个空：SAS（边角边）。看三个条件的排列：$AD=ED$（边）、$angle ADC=angle EDB$（角）、$CD=BD$（边）——两条边夹着一个角，角在中间，所以是边角边。
这一步在卷面上值 4 分左右，几乎年年考，但两次月考里错得最多的就是这里——不是不会，是没注意「角在中间」。
第二步 · 第（2）问：把 AD 关进一个三角形
为什么非要延长一倍？因为 $AD$ 自己孤零零地待在那里，两边没有已知长度，没法用三边关系。延长之后，全等把 $AC$ 搬到了 $BE$ 的位置：
由 $triangle ADCcongtriangle EDB$ 得 $BE=AC=6$（对应边相等）。
于是 $triangle ABE$ 的三条边都认识了：$AB=4$、$BE=6$、$AE=2AD$。
三角形三边关系：两边之差 $<$ 第三边 $<$ 两边之和，
$6-4 两边同除以 $2$： $1 结论：$AD$ 的取值范围是 $1 顺带记住这个结论的用法：中线 $AD$ 的取值范围，等价于「$(AC-AB)div 2
① 忘了 $AE=2AD$，把答案写成 $2
③ 只写「$AD<5$」，漏掉下界。
第三步 · 第（3）问：把「延长中线」再做一次
第（3）问看起来是一道新题，其实用的是同一招，只是这次延长的是 $AD$ 的另一头：延长 $AD$ 到 $F$，使 $DF=AD$。
为什么想到再延长？因为题目给了一个直角 $angle B=90^circ$，它意味着 $ABperp BC$——而全等正好能把 $AB$ 搬到 $BC$ 的垂线方向上，与 $CE$ 凑成一条直线。
- 先证全等。在 $triangle ADB$ 与 $triangle FDC$ 中：$AD=FD$（已作），$angle ADB=angle FDC$（对顶角），$BD=DC$（$D$ 是中点）。由 SAS 得 $triangle ADBcongtriangle FDC$。
- 把结论搬过来。对应边 $CF=AB=4$；对应角 $angle DCF=angle DBA=90^circ$，也就是 $CFperp BC$。
- 两条垂线合成一条直线。$CFperp BC$ 且 $CEperp BC$，两条垂线都过点 $C$，所以 $F$、$C$、$E$ 三点共线，且 $C$ 在 $F$ 与 $E$ 之间。
- 算出 $FE$。$FE=FC+CE=4+8=12$。
关键在第 3 步：「垂直于同一条直线的两条直线互相平行」，而过同一点只有一条平行线，所以它们其实是同一条直线。这一步不写，后面 $FE=FC+CE$ 就没有依据。
第四步 · 第（3）问收尾：AE 就是 FE
现在还差 $AE$。回到 $triangle ADE$ 与 $triangle FDE$：
- $AD=FD$（已作）；
- $angle ADE=angle FDE=90^circ$——题目给的 $angle ADE=90^circ$，而 $A$、$D$、$F$ 共线，所以 $angle FDE$ 也是 $90^circ$；
- $DE$ 是公共边。
由 SAS 得 $triangle ADEcongtriangle FDE$，所以 $AE=FE=12$。
结论：$AE=12$。
整道题其实只用了同一个动作两次：延长中线到一倍，造一对全等。第一次为了把 $AC$ 搬到 $BE$（求范围），第二次为了把 $AB$ 搬到 $CF$（求长度）。
这类题的通用步骤与易错点
倍长中线三步法：① 见「中点」「中线」，就把中线延长一倍（$DE=AD$），连出对顶的两个三角形；② 用 SAS 证这两个三角形全等，把已知边、已知角「搬」到中线另一侧；③ 在新图形里用三边关系、垂直关系或垂直平分线收尾。
① 全等判定写成 SSA。角必须是两边的夹角，书写顺序要和 SAS 对上。
② 求范围忘了除以 2。三边关系给出的是 $AE=2AD$ 的范围，不是 $AD$ 的。
③ 范围取等号。三点共线时三角形不存在，一律用严格不等号。
④ 不证「三点共线」就用 $FE=FC+CE$。$CFperp BC$ 与 $CEperp BC$ 要写出「过同一点只有一条垂线」，两条线段才能拼成一条。
4举一反三 · 4 道题
四个角度：换数求中线范围、全等后的对应边、直角背景下的长度计算、四个结论里挑「不一定成立」的那个。
倍长中线综合 · 举一反三（4 题）
做完立刻出结果，答错的题会自动进你的错题本。
建议先独立完成，再看解析。
5逐题解析（做完再看）
第 1 题 · 换数求中线范围
正确答案：$2
第 2 题 · 全等后的对应边
正确答案：$5$。$triangle ADCcongtriangle EDB$ 的对应关系是 $Aleftrightarrow E$、$Dleftrightarrow D$、$Cleftrightarrow B$，所以 $BE=AC$。错选 $7$ 的同学是把 $BE$ 与 $AB$ 混了——全等只把 $AC$ 搬过去，$AB$ 原地不动。
第 3 题 · 直角背景下的长度计算
正确答案：$11$。做法与例题第（3）问完全一致：倍长中线得 $CF=AB=6$ 且 $CFperp BC$，与 $CEperp BC$ 合起来说明 $F$、$C$、$E$ 共线，于是 $FE=6+5=11$，最后 $AE=FE$。错选 $sqrt{61}$ 的是把 $angle ACE$ 当成了直角。
第 4 题 · 挑出「不一定成立」
正确答案：$AD=4$。前三个结论都由全等与三边关系必然推出；$AD$ 只能被限制在 $2
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