1.16 绝对值的几何意义（二)最小值问题

答案：最小值是 $4$，当 $-3\le x\le 1$ 时取到。

1. 先翻译式子。$|x-1|$ 是点 $P$ 到点 $B(1)$ 的距离；$|x+3|=|x-(-3)|$ 是点 $P$ 到点 $A(-3)$ 的距离。所以原式 $=PA+PB$。
2. 看几何事实。$A$、$B$ 是两个定点，它们之间的距离 $AB=|1-(-3)|=4$。点 $P$ 在数轴上无论跑到哪儿，都有 $PA+PB\ge AB$。
3. 看等号何时成立。当点 $P$ 落在线段 $AB$ 上（含两个端点）时，$PA+PB$ 恰好等于 $AB=4$。

结论：当 $-3\le x\le 1$ 时取最小值 $4$。

注意：「$x$ 为几」的答案是一个范围，不是一个数 —— 这是两个绝对值的题最容易丢分的地方。

答案：当 $x=3$ 时，取最小值 $7$。

1. 先把三个零点找出来。让每个绝对值等于 $0$：$x=-2$、$x=3$、$x=5$。从小到大排好：$-2,\;3,\;5$。
2. 取最中间那个点。三个点的正中是第 $2$ 个，即 $x=3$。
3. 代入算值。$|3+2|+|3-3|+|3-5|=5+0+2=7$。

为什么是中间点：式子是点 $P$ 到 $-2$、$3$、$5$ 三点的距离之和。点 $P$ 在中间点左边时，它往右挪一格，到右边两点的距离一共少 $2$ 格、到左边一点的只多 $1$ 格，总和在变小；过了中间点之后反过来，总和开始变大。所以最小值恰好卡在中间那个点上。

验算一下：取 $x=2$ 得 $4+1+3=8>7$；取 $x=4$ 得 $6+1+1=8>7$。确实 $x=3$ 时最小。

奇点偶段：先数「点」——把每个绝对值的零点都找出来（$|2x-4|$ 这种带系数的先写成 $2|x-2|$，零点 $2$ 要算两次），一共 $n$ 个点。
　· $n$ 是奇数 $\Rightarrow$ 最小值在正中间那个点取到，$x$ 是一个确定的数（奇 → 点）；
　· $n$ 是偶数 $\Rightarrow$ 最小值在中间两个点之间的那一整段上取到，$x$ 是一个范围（偶 → 段）。

求最小值只有两步：① 按奇点偶段定出 $x$（是点就取那个点；是段就在段里随便取一个数，取端点算起来最省事）；② 把 $x$ 代回原式算值。不要去背「最小值等于什么」的公式，代入最稳。

回头看：例 1 的零点是 $-3$、$1$，$n=2$ 是偶数 → 答案是范围 $-3\le x\le 1$；例 2 的零点是 $-2$、$3$、$5$，$n=3$ 是奇数 → 答案是点 $x=3$。口诀和结果完全对得上。

答案：当 $x=2$ 时，取最小值 $4$。

1. 先把系数搬到绝对值外面：$|2x-4|=|2(x-2)|=2|x-2|$。
2. 把 $2|x-2|$ 看成两个重合的点。零点依次是 $-1$、$2$、$2$、$3$，共 $n=4$ 个点 —— 是偶数，按「偶段」处理。
3. 取中间两个点。排序后第 $2$、第 $3$ 个点都是 $2$，中间这一段就缩成了一个点：$x=2$。
4. 代入算值。$|2+1|+|2\times 2-4|+|2-3|=3+0+1=4$。

验算：取 $x=1.5$ 得 $2.5+1+1.5=5>4$；取 $x=2.5$ 得 $3.5+1+0.5=5>4$。确实 $x=2$ 时最小。

这一类题的关键就是先把系数拆成多个重合的零点，再数奇偶。不拆的话会把 $4$ 个点误数成 $3$ 个，奇偶判反，答案跟着错。

正确选项：表示数 $a$ 的点与表示 $-5$ 的点之间的距离。

理由：先把式子改写成两个数的差：$|a+5|=|a-(-5)|$。由 $AB=|a-b|$ 可知，它就表示数轴上表示 $a$ 的点与表示 $-5$ 的点之间的距离。

提醒：$|a+5|$ 里的「$+5$」不是「到 $5$ 的距离」，恰恰相反 —— 是到 $-5$ 的距离。判断口诀：看形式 $|a-x|$，$x$ 是几，就是到几的距离。这里 $x=-5$。

正确选项：$|a-2|$。

理由：把 $AB=|a-b|$ 里的 $b$ 换成 $2$，即得距离为 $|a-2|$。

为什么不选 $a-2$：只有当 $a\ge 2$ 时才有 $a-2\ge 0$；若 $a<2$，$a-2$ 是负数，而距离永远不为负。所以必须套上绝对值。

方法：「距离 = 差的绝对值」，这个式子要背到条件反射 —— 它是把代数式翻译成几何图形的第一步。

正确选项：$4$。

理由：$|a-1|$ 是点 $P$ 到 $1$ 的距离，$|a+3|=|a-(-3)|$ 是点 $P$ 到 $-3$ 的距离。两个定点 $1$ 与 $-3$ 之间的距离是 $|1-(-3)|=4$。

点在两定点之间时，两段距离之和最短，正好等于这两点间的距离。所以最小值是 $4$，当 $-3\le a\le 1$ 时取到。

提醒：先找「零点」$-3$ 和 $1$，答案就是 $|1-(-3)|=4$，不必真的分段去算。

正确选项：$-3\le a\le 5$。

理由：$PA+PB=|a+3|+|a-5|$。$A$、$B$ 两点之间的距离是 $|5-(-3)|=8$，而「$P$ 到两定点距离之和 $\ge$ 两点间距离」恒成立，所以 $PA+PB\ge 8$；等号当且仅当 $P$ 落在线段 $AB$ 上时成立。

题目要求 $PA+PB=8$，正好是取等号的情形，于是 $P$ 可以在线段 $AB$ 上任意位置（含端点），即 $-3\le a\le 5$。

为什么不是 $a=1$：中点只是「其中一个」位置。只要 $P$ 在线段 $AB$ 上，和就恰好等于 $AB=8$，所以是一整段，不是一个点。