1.16 绝对值的几何意义（一）

1. 第（1）问，$2$ 和 $5$：取 $a=2$、$b=5$，则 $AB=|2-5|=|-3|=3$，填 $3$。
2. 第（1）问，$1$ 和 $-3$：取 $a=1$、$b=-3$，则 $AB=|1-(-3)|=|4|=4$，填 $4$。
3. 第（2）问，$x$ 和 $-2$：先把式子改写成两个数相「减」的形式：$x-(-2)=x+2$，所以距离表示为 $|x+2|$。
4. 第（2）问，$x$ 和 $5$：同理写成 $x-5$，距离表示为 $|x-5|$。

答案：（1）$3$，$4$；（2）$|x+2|$，$|x-5|$。

四问四答，用的全是同一句话：两点之间的距离 $=$ 两个数之差的绝对值。第（1）问只是把两个数都代成具体的数，第（2）问有一个数还带着字母，公式照用不误。

公式：数轴上表示 $a$、$b$ 的两点之间的距离 $AB=|a-b|$。

1. 距离不能为负，所以外面必须套绝对值。如果只写 $a-b$，当 $a
2. 谁减谁无所谓。因为 $|a-b|=|b-a|$ —— 绝对值把负号「吃掉」了。做题时不必纠结哪个点写在前面，把两个数相减再取绝对值即可。

把这两条记住，$AB=|a-b|$ 就不再是一个死记的公式，而是「两个数作差，加个绝对值把负号消掉」。

模型：数轴上两点间的距离 $=$ 这两个数之差的绝对值。
已知两点表示的数 $\Rightarrow$ 距离 $=|a-b|$；反过来已知距离求点，一般会有两个答案（左右各一个），除非题目另外限定了方向。

这条模型是下一节的地基：把 $|a+4|$ 读成「$a$ 到 $-4$ 的距离」，一道绝对值题就变成了「量线段」。1.16 绝对值的几何意义（二）最小值问题用的正是这一步。

正确选项：$5$。

理由：把两个数代进公式：$|-1-4|=|-5|=5$。换个顺序也一样：$|4-(-1)|=|5|=5$。

其他选项为什么错：$3$ 是把两点之间的「刻度差」算成了 $4-1$，丢掉了符号；$-5$ 和 $-3$ 是负数，而距离不可能为负，看到负号可以直接排除。

提醒：不想套公式时，也可以数一数从 $-1$ 走到 $4$ 一共跨了几格：$-1\to 0$ 一格，$0\to 4$ 四格，共 $5$ 格。

正确选项：$|x-5|$。

理由：直接套 $AB=|a-b|$，一个数是 $x$，另一个数是 $5$，就是 $|x-5|$。

为什么不选 $x-5$：当 $x<5$ 时 $x-5$ 是负数，而距离不为负，必须套绝对值 —— 这正是上一节课最容易丢分的那一处。

为什么不选 $|x|-5$ 或 $|x+5|$：$|x|-5$ 是「$x$ 到原点的距离再减 $5$」，与「$x$ 到 $5$ 的距离」完全是两回事；$|x+5|=|x-(-5)|$ 表示的是到 $-5$ 的距离，符号代错了。

正确选项：$3$。

理由：「与 $-1$ 的距离是 $4$」本身有两种可能：往右走 $4$ 格得 $x=-1+4=3$，往左走 $4$ 格得 $x=-1-4=-5$。但题目限定「在 $-1$ 的右边」，只有 $x=3$ 满足条件。

对比第 4 题：那一题没有说明 $B$ 在 $A$ 的哪一侧，所以两个答案都要保留。做这类题一定要先看清「有没有方向限定」，这是它和第 4 题唯一的区别。

正确选项：$4$ 或 $-10$。

理由：先写距离表达式：$AB=|b-(-3)|=|b+3|$。题目给出 $AB=7$，所以 $|b+3|=7$，即 $b+3=7$ 或 $b+3=-7$，解得 $b=4$ 或 $b=-10$。

画图验证：$A$ 在 $-3$。往右 $7$ 格是 $4$；往左 $7$ 格是 $-10$。两个点与 $A$ 的距离都是 $7$，都符合题意。

最容易错的地方：只写往右的那一个 $b=4$，把 $b=-10$ 丢了。题目没限定 $B$ 在 $A$ 的哪一侧，两个都要写。