21.4 平行四边形的性质

1. 因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AB=CD$（平行四边形的对边相等），且 $AB\parallel CD$。
2. 因为 $AB\parallel CD$，$AC$ 是截线，所以 $\angle BAE=\angle DCF$（两直线平行，内错角相等）。
3. 因为 $A$、$F$、$E$、$C$ 依次在 $AC$ 上，所以 $AE=AF+FE$，$CF=CE+EF$。
4. 又 $AF=CE$，所以 $AE=CF$（等量加等量，和相等）。
5. 在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CDF$ 中：$AB=CD$，$\angle BAE=\angle DCF$，$AE=CF$，所以 $\triangle ABE\cong\triangle CDF$（SAS）。
6. 所以 $BE=DF$（全等三角形的对应边相等）。

写证明题，每一步后面都要用括号注明理由 —— 上考场按点给分，光有结论不给分。

1. 看目标，锁定两个三角形。$BE$ 在 $\triangle ABE$ 里，$DF$ 在 $\triangle CDF$ 里。所以问题变成：证明 $\triangle ABE\cong\triangle CDF$。这就是视频里说的「先找全等，再补整体」。
2. 先捡白送的条件。平行四边形直接给 $AB=CD$（对边相等）；再加上 $AB\parallel CD$ 配截线 $AC$，又白得 $\angle BAE=\angle DCF$（内错角）。全等要三个条件，已经拿到两个。
3. 还差夹在夹角里的那两条边。要的是 $AE$ 与 $CF$，可题目给的是 $AF=CE$ —— 中间隔着一段 $FE$。于是在两边各加上 $FE$：$AE=AF+FE$，$CF=CE+EF$，因为 $AF=CE$，所以 $AE=CF$。这一步是整道题的关键。
4. 三条件齐了。两边夹一角 → SAS → $\triangle ABE\cong\triangle CDF$ → 对应边相等 → $BE=DF$。

这道题不止一条路。把 $BF$、$DE$ 也连上，换成 $\triangle ABF$ 和 $\triangle CDE$：

1. $AB=CD$（对边相等），$\angle BAF=\angle DCE$（$AB\parallel CD$ 的内错角），$AF=CE$（已知）→ $\triangle ABF\cong\triangle CDE$（SAS）→ $BF=DE$，且 $\angle AFB=\angle CED$。
2. $A$、$F$、$E$、$C$ 共线 → $\angle BFE=180^\circ-\angle AFB$，$\angle DEF=180^\circ-\angle CED$ → $\angle BFE=\angle DEF$ → $BF\parallel DE$。
3. $BF$ 与 $DE$ 平行且相等 → 四边形 $BEDF$ 是平行四边形 → $BE=DF$。

同一个图形、同一个条件，换一对三角形就能证出来。多备一条路，考场上哪条顺手走哪条。

正确选项：$50^\circ$。

理由：平行四边形的对角相等，所以 $\angle C=\angle A=50^\circ$。顺带记住邻角互补：$\angle B=\angle D=180^\circ-50^\circ=130^\circ$。

提醒：「对角相等、邻角互补」是平行四边形最基本的两条性质，也在后面所有证明题里反复用到。

正确选项：$AE=CF$。

理由：$A$、$F$、$E$、$C$ 依次排列在 $AC$ 上，所以 $AE=AF+FE$，$CF=CE+EF$。由 $AF=CE$，两条式子右边相等，得 $AE=CF$。

方法：这就是「等量加等量，和相等」。原题里 $AF=CE$ 不能直接用，必须先补上中间那段 $FE$ —— 这一转化是整道证明的命门。

正确选项：$BF$ 与 $DE$ 平行且相等。

理由：$AB=CD$、$\angle BAF=\angle DCE$（$AB\parallel CD$ 的内错角）、$AF=CE$，所以 $\triangle ABF\cong\triangle CDE$（SAS），得 $BF=DE$。

又因为 $A$、$F$、$E$、$C$ 共线，$\angle BFE=180^\circ-\angle AFB$，$\angle DEF=180^\circ-\angle CED$，而 $\angle AFB=\angle CED$，所以 $\angle BFE=\angle DEF$，得 $BF\parallel DE$。

结论：既相等又平行，不是「只相等」也不是「只平行」。

正确选项：平行四边形。

理由：由第 3 题已经得到 $BF=DE$ 且 $BF\parallel DE$ —— 一组对边平行且相等，所以四边形 $BEDF$ 是平行四边形。

为什么不选矩形、菱形：矩形要再有直角，菱形要再有一组邻边相等，题目都没给，不能凭感觉加条件。判定题只认题目给的条件。