动点问题(一)

1. 由相反数求 $a$。「$a$ 的相反数是 $3$」，意思是 $-a=3$，所以 $a=-3$。
2. 由非负性求 $b$、$c$。$(b-1)^2\ge 0$，$|c-9|\ge 0$，两个非负数相加等于 $0$，只能是各自都为 $0$。于是 $b-1=0$，$c-9=0$，得 $b=1$，$c=9$。

结论：$a=-3$，$b=1$，$c=9$。

这一问只用到两个小结论：相反数与非负性（平方、绝对值都不小于 $0$）。是整道题的「入口」，数值求错，后面全错。

1. 把三个动点「$t$ 秒后表示的数」写出来。向左运动就减、向右运动就加，走过的路程 $=$ 速度 $\times$ 时间：
   $A$ 点：$-3-t$；$B$ 点：$1+3t$；$C$ 点：$9+2t$。
2. 把两条线段表示出来。两点间距离 $=$ 相差的绝对值，这里右边的数都大于左边的数，可以直接相减：
   $AB=(1+3t)-(-3-t)=4+4t$；
   $BC=(9+2t)-(1+3t)=8-t$。
3. 列方程。由 $AB=5BC$ 得 $4+4t=5(8-t)$，展开得 $4+4t=40-5t$，移项得 $9t=36$，解得 $t=4$。
4. 检验。当 $t=4$ 时，$AB=4+16=20$，$BC=8-4=4$，而 $5\times 4=20$，等式成立。

结论：$t=4$。

一个容易被忽略的细节：$BC=8-t$ 只有在 $t<8$ 时才是正数 —— 当 $t>8$ 时 $B$ 点已经跑到 $C$ 点右边，此时两点的距离是 $t-8$。本题解出 $t=4$，落在 $t<8$ 的范围里，所以这个解有效。

1. 先把 $AC$ 也表示出来。$AC=(9+2t)-(-3-t)=12+3t$。
2. 把要判断的式子整理成一个「关于 $t$ 的一次式」。 $mAC-4AB=m(12+3t)-4(4+4t)=12m+3mt-16-16t=(3m-16)t+(12m-16)$。
3. 看「与 $t$ 无关」是什么意思。式子的值随 $t$ 变而变，是因为括号里「$(3m-16)t$」这一项在动。要让整个式子的值与 $t$ 无关，就必须让 $t$ 的系数为 $0$：
   $3m-16=0$，解得 $m=\dfrac{16}{3}$。
4. 求这个定值。把 $m=\dfrac{16}{3}$ 代回去，$t$ 那项消失，只剩常数项：$12m-16=12\times\dfrac{16}{3}-16=64-16=48$。

结论：存在这样的 $m$，$m=\dfrac{16}{3}$，此时 $mAC-4AB$ 的值为定值 $48$。

「定值问题」的通法只有一步：把式子整理成 $kt+b$ 的形式，再令 $k=0$。整理得越干净，答案越不容易出错。

四步通法：① 用非负性 / 相反数等条件求出各点表示的数；② 用「起点 $\pm$ 速度 $\times$ 时间」写出每个动点 $t$ 秒后表示的数；③ 用「右边的数 $-$ 左边的数」（或加绝对值）表示线段长度；④ 按题意列方程或整理成 $kt+b$ 判断定值。

正确选项：$a$、$b$、$c$ 依次是 $4$、$3$、$-2$。

理由：「$a$ 的相反数是 $-4$」即 $-a=-4$，所以 $a=4$。又平方与绝对值都非负，$(b-3)^2+|c+2|=0$ 只能各自为 $0$：$b-3=0$ 得 $b=3$，$c+2=0$ 得 $c=-2$。

提醒：见到「$a$ 的相反数是 $-4$」，要先还原出 $a$ 本身，别把 $-4$ 直接当成 $a$（那样会差一个负号）。

正确选项：$AB=4+4t$。

理由：$t$ 秒后点 $A$ 表示的数是 $-3-t$（向左走 $t$），点 $B$ 表示的数是 $1+3t$（向右走 $3t$）。$B$ 在 $A$ 右边，所以 $AB=(1+3t)-(-3-t)=4+4t$。

方法：任何动点题都先做这一步 ——「把每个点 $t$ 秒后表示的数写出来」，写在草稿纸上，再谈别的。原题第 (2) 问的三条线段都由它推出来。

正确选项：$t=1$ 或 $t=3$。

理由：$t$ 秒后 $A$ 表示的数是 $-3+t$，$B$ 表示的数是 $5-3t$，距离要写成绝对值：$AB=|(5-3t)-(-3+t)|=|8-4t|$。由 $AB=4$ 得 $|8-4t|=4$，去掉绝对值有两种可能：$8-4t=4$ 得 $t=1$；$8-4t=-4$ 得 $t=3$。

提醒：本题两个点是相向而行，会相遇并错开，所以「距离等于 $4$」的时刻出现两次。只要题目没说两点谁在左、谁在右，就必须用绝对值，并把两种情况都解出来。

正确选项：$m=1$。

理由：$t$ 秒后 $A$ 表示的数是 $-1-t$，$B$ 表示的数是 $5+2t$，所以 $AB=(5+2t)-(-1-t)=6+3t$；$A$ 始终在原点左边，$OA=1+t$。于是 $mAB-3OA=m(6+3t)-3(1+t)=(3m-3)t+(6m-3)$。要与 $t$ 无关，$t$ 的系数必须为 $0$：$3m-3=0$，解得 $m=1$。

方法：与第 (2) ② 问完全同款 —— 整理成 $kt+b$，令 $k=0$。区别只在于这里的两个量换成了 $AB$ 与 $OA$。