5.3 诱导公式（原理）

诱导公式不是凭空规定出来的，它是圆的对称性的代数写法。抓住下面这张对照表，公式就全记住了：

因为 $\cos\alpha=x$、$\sin\alpha=y$，坐标怎么变，函数值就怎么变：

• 关于 $x$ 轴对称：纵坐标变号，横坐标不变 $\Rightarrow$ $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$，$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$。
• 关于 $y$ 轴对称：横坐标变号，纵坐标不变 $\Rightarrow$ $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$，$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$。
• 关于原点对称：横、纵坐标都变号 $\Rightarrow$ $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$，$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$。
• 关于 $y=x$ 对称：横、纵坐标互换 $\Rightarrow$ $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$，$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$。

最后一条里横、纵坐标互换，正是「函数名要变」的由来——这就是口诀里「变」字的真正含义。

① 先看「奇偶」——决定函数名变不变。
把角写成 $\dfrac{k\pi}{2}\pm\alpha$ 的形式，看 $k$ 的奇偶：

• $k$ 是奇数（如 $\dfrac{\pi}{2}$、$\dfrac{3\pi}{2}$）：$\sin\leftrightarrow\cos$ 互换。
• $k$ 是偶数（如 $\pi$、$2\pi$）：函数名保持不变。

② 再看「象限」——决定正负号。
把 $\alpha$ 暂时看成锐角，判断 $\dfrac{k\pi}{2}\pm\alpha$ 落在第几象限，然后看原来的那个函数在该象限的符号：

关键提醒：符号看的是原函数在原角所在象限的符号，不是变名之后的新函数。比如 $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$：$\dfrac{\pi}{2}+\alpha$ 在第二象限，要看的是 $\cos$（左边的原函数）在第二象限为负，所以结果是 $-\sin\alpha$，千万不能因为「$\sin$ 在第二象限是正的」就写成 $+\sin\alpha$。

表里每一格都能用「对称 → 坐标 → 函数值」现推。比如 $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)$：$k=3$ 是奇数 → 变名为 $\cos$；$\dfrac{3\pi}{2}+\alpha$ 在第四象限，$\sin$ 在第四象限为负 → 取负号，得 $-\cos\alpha$。

四个式子逐个化简：

$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$（$k=2$ 偶，名不变；$\pi+\alpha$ 在第三象限，$\sin$ 为负）
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$（$k=1$ 奇，变名；$\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ 在第一象限，$\cos$ 为正）
$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$（$k=2$ 偶，名不变；$\pi-\alpha$ 在第二象限，$\cos$ 为负）
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha$（$k=1$ 奇，变名；$\dfrac{\pi}{2}+\alpha$ 在第二象限，$\sin$ 为正）

代回原式：

$(-\sin\alpha)\cdot\sin\alpha+(-\cos\alpha)\cdot\cos\alpha$
$=-\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha=-(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)=-1$

结论：原式 $=-1$。

注意最后一步用到的是同角关系 $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，它不属于诱导公式，但两者常常连着用。

现推三步法：① 把角拆成 $\dfrac{k\pi}{2}\pm\alpha$，看 $k$ 奇偶定变不变名；② 把 $\alpha$ 当锐角，定原角象限，按原函数在该象限的符号定正负；③ 化简后若出现 $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$，直接换成 $1$。

正确答案：$\dfrac{1}{2}$。关键是把 $\dfrac{5\pi}{6}$ 拆成 $\pi-\dfrac{\pi}{6}$：$k=2$ 为偶，函数名不变；$\pi-\alpha$ 在第二象限，$\sin$ 为正，所以等于 $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$。错选 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 的同学，是把「函数名不变」误当成了「照抄 $\dfrac{\pi}{3}$ 的值」，拆角这一步要写下来再代。

正确答案：$-\dfrac{1}{2}$。写成 $\pi+\dfrac{\pi}{3}$ 后，$k=2$ 偶、名不变，$\cos$ 在第三象限为负，所以是 $-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$。错选 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 的同学，是把 $\dfrac{4\pi}{3}$ 错拆成了 $\pi+\dfrac{\pi}{6}$。

正确答案：$\sin\alpha\cos\alpha$。两项各出一个负号，相乘后抵消，结果为正。错选 $-\sin\alpha\cos\alpha$ 的同学，通常是在第一步 $\sin(-\alpha)$ 上就掉了负号，或者把「负角」记成了「$\sin$ 不变号」。记住：只有 $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ 不变号。

正确答案：$-\cos\alpha$。$k=3$ 为奇数，$\sin$ 变成 $\cos$；原角在第三象限，按原函数 $\sin$ 判定为负，取负号。错选 $-\sin\alpha$ 的同学是只定了符号、忘了变名。